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Nombre entiers

On rappelle que :

• Propriété 1:
Le produit de deux entiers naturels consécutifs est un nombre pair.

• Propriété 2:
La somme de deux entiers naturels consécutifs est un nombre impair.

• Propriété 3:
a et b sont positifs et a < b ⇔ a² < b²

• Propriété 4:
(a + b)² ≡ a² + 2ab + b²


1) On considère trois entiers naturels K, U et V.

K = (3n + 1)(3n + 2) + 1
U = 9 n² + 6 n + 1
V = 9 n² + 12 n + 4

On cherche la parité de K:

(3n + 2) est le consécutif de (3n + 1). D'après la propriété 1, on aura (3n + 1)(3n + 2) est pair = 2p (p entier naturel).

Donc K = 2p + 1 , qui est la définition d'un nombre impair.

K est impair

2) On utilise l'identité remarquable du carré d'une somme de deux entiers, c'est à dire la propiété (4):

U = 9 n² + 6 n + 1 = (3n)² + 2 x (3 x n) x 1 + (1)² = (3n + 1)²

V = 9 n² + 12 n + 4 = (3n)² + 2 x (3 x n) x 2 + (2)² = (3n + 2)²

3) Nous avons:

3n + 2 = (3n + 1) + 1

Donc:

K = (3n + 1)[(3n + 1) + 1] + 1 = (3n + 1)² + (3n + 1) + 1 = (3n + 1)² + (3n + 2)

Nous avons :

1 < 2 ⇒ 3n + 1 < 3n + 2 ⇒ (3n + 1)² < (3n + 2)², d'après la propriété (3).

Donc:

U < V (Inégalité 1)

U = (3n + 1)² K = (3n + 1)² + (3n + 2) = U + (3n + 2) ⇒ U < K

U < K (Inégalité 2)

K = (3n + 1)² + (3n + 2) V = (3n + 2)² = [(3n + 1) + 1]² = (3n + 1)² + 2(3n +1) + 1 = (3n + 1)² + (3n +1) + (3n + 2)
= K + (3n + 1) ⇒ K < V

U < K (Inégalité 3)

Des trois inégalités trouvées:
U < V ,
U < K , et
K < V
On en déduit:

U < K < V (Double inégalité)

4) U , K, et V sont des entiers positifs. De la double inégalité, on en déduit:

U < K < V ⇒ U < K < V

C'est à dire:

(3n+1²) < K < (3n+2)²

ou (3n+1)² < K < (3n+2)

Les nombres (3n+1) et (3n+2) = (3n + 1) + 1 sont consécutifs. Si 3n+1 = p, alors 3n+2 = p + 1.
Il ne peut donc y avoir un entier entre eux. Le nombre entre eux n'est pas entier. Il est rationnel, irrationnel ou réel.

Exemple : entre les nombres consécutifs 3 et 4 , il n'y a pas d'entiers. Les nombres qui peuvent être entre eux sont des nombres rationnels comme 7/2, irrationnels, comme π = 3.1416, ou réels , comme 3.798.

-- Abdurrazzak Ajaja
octobre 2022