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Parallèles , vecteurs et parallélogrammes

• 1 Soit le schéma suivant :



ABCD est un parallélogramme. Donc:

AB = DC et AD = BC

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leurs milieux. Donc:

DO = OB et AO = OC

• 2

BM = BC + CM
= BC + (3/2)BC = (5/2) BC

BM = 5 / 2 BC

BN = AH - (1/2) AD et CB = - AD

CN = CB + BN
= - AD - (1/2)AD = (- 3/2) AD = (- 3/2) BC

CN = - 3 / 2 BC

• 3

BC = AD
CM = AG = (3/2) AD

BM = BC + CM
= AD + (3/2) AD = (5/2) AD

Dans le triangle BEM, AC // EM . D'après le théorème de Thales direct (ou triangles semblables), on a:

BO / BE = BC / BM = AD / (5/2)AD = 2 / 5 ⇒ BO / BE = 2 / 5
BE / BO = 5 / 2 ⇒ BE = 5 / 2 BO
OF = OB + BF = - OB + BF

Les triangles BNF et BOC sont semblables. D'après la propriété de Thalès:

NF // OC ⇒ BF / BO = BN / BC = -(1/2)AD / AD = - 1 / 2
⇒ BF = - 1 / 2 BO
OF = - BO - 1 / 2 BO = - 3 / 2 BO
OF =  - 3 / 2 BO

• 4

Dans le parallélogramme ACMG, on a:

CM = AG = 3 / 2 AD
= AD + HA = Hd = NC

Dans le parallélogramme HNCD, on a:

CM = NC ⇒ C est le milieu de [MN] .

D'après la propriété de Thalès, dans les triangles ADO et EDG:

DE / DO = DG / DA = - (1/2)AD / AD = - 1 / 2

DE = - 1 / 2 DO = 1 / 2 OD

OE = OD + DE = OD + (1/2) OD = (3/2) OD = - (3/2) OB = - OF , d'après le relation du 3).

OE = FO ⇒ O est le milieu de [EF] .

-- Abdurrazzak Ajaja
octobre 2022