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Mathématiques Algèbre
Expressions algébriques
Réduction - Factorisation - Développement
Exercice 1:
1. a et b sont deux nombres réels . b est non nul et est différent de - 10.
On considère l'expression algébrique suivante :
(10 + 2a)/(10 + b) = 2a/b
En applicant la propriété des proportions:
le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, on aura:
b (10 + 2a) = 2a (10 + b)
En développant, on aura:
10 b + 2ab = 20a + 2ab
En ajoutant - 2ab aux deux membrees de l'égalité, on obtient:
10 b + 2ab - 2ab = 20a + 2ab - 2ab
Il reste :
10b = 20 a
En divisant les deux membres de l'égalité par 10, il vient:
b = 2a
Ainsi , si (10 + 2a)/(10 + b) = 2a/b, alors b = 2a
Exercice 2:
Soit (√a + √b)(a - √ab +b)
On développe:
a√a - √a √ab + b√a + a√b - √b √ ab = b√b =
a√a - a√b + b√a + a√b - b√a + b√b =
a√a + b √ b
Donc :
(√a + √b)(a - √ab +b)
= a√a + b √ b
Exercice 3:
3. x est réel.
• a) Développer et réduire
A = (x -1)3 - (1 + x)3
(x - 1)3 = (x - 1) (x - 1)x2 =
(x - 1) (x2 - 2x +1) =
x3 - 2 x2 + x - x2 + 2x - 1
x3 - 3 x2 + 3x - 1
(x - 1)3 = x3 - 3 x2 + 3x - 1
(1+ x)3 = (1 + x)(x + 1)2 =
(1 + x)(x2 + 2x +1) =
x2 + 2x +1 + x3 + 2x2 + x =
x3 + 3x2 + 3x +1
(1 + x)3 = x3 + 3 x2 + 3x + 1
Il vient donc:
A = x3 - 3 x2 + 3x - 1 - ( x3 + 3 x2 + 3x + 1)
= x3 - 3 x2 + 3x - 1 - x3 - 3 x2 - 3x -1 =
= - 3 x2 - 1 - 3 x2 -1 = - 6x2 - 2
A = - 6x2 - 2
b)
B = (3x+2)2 - (x-4)2.
= 9x2 + 12 x + 2 - x2 + 8x - 16
= 8 x2 + 20x - 12
B = 8 x2 + 20x - 12
• b) Factoriser
a) C = 9 x2 - 6x + 1 =
(3x)2 - 2(3x) + 1
Ici, on utilise la propriété du carré d'une somme de deux réels:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 . Ainsi:
avec a = 3x
et b = 1
C = (3x - 1)2
C = (3x - 1)2
b) D = 100x2 - 1/81 =
(10 x)2 - (1/9)2
Ici, on utilise la propriété de la différence des deux carrés
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
avec a = 10x
et b = 1/9
Il vient:
B = (10 x)2 - (1/9)2 =
(10x - 1/9)(10x + 1/9)
D = (10x - 1/9)(10x + 1/9)
c)
E = x3 - 8 - 4(x-2) + x2 - 4
• x3 - 8 =( x)3 - (2)3
Or
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
Donc: x3 - 8 = (x - 2) (x2 + 2x + 4)
• x2 - 4
Or
a2 - b2 = (a - b) (a + b)
Il vient donc:
E = (x - 2) (x2 + 2x + 4) - 4(x-2) + (x+2)(x-2)
= ( x- 2)(x2 + 2x + 2) - 4 + x + 4)
= ( x- 2)(x2 + 3 x + 2)
Or
x2 + 3 x + 2 = x2 + 2 x + x + 2 =
x(x +2) + ( x + 2) = (x+1)(x+2)
Il vient finalement:
E = (x-2)(x+1)(x+2)
E = (x-2)(x+1)(x+2)
Autre méthode:
Je développe d'abord:
E = x3 - 8 - 4x + 8 + x2- 4 =
x3 - 4x + x2- 4 =
x3 + x2 -4 x- 4 =
x2(x +1) - 4(x+1)
= (2 - 4)(x + 1),
Avec la différence des carrés, on a:
= (x+2)(x-2)(x + 1)
Il vient E = (x-2)(x+1)(x + 2)
E = (x-2)(x+1)(x+2)
Pour plus d'exercices,
Expressions algébriques
-- Abdurrazzak Ajaja
decembre 2022
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