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Parallèles , vecteurs et parallélogrammes

1) Mesure des angles

ABCD est un carrée de côté égal à 1.

Alors AB = BC = CD = AD = 1,
mes (A) = mes (B) = mes (C) =m es (D) = 90^o = π/2.

AEB est un triangle équilatéral
de côté AB égal aussi à 1.

Alors Alors AB = AE = EB = 1.
mes(A1) = mes(B1) = mes (E1) = 60 ^o = π/3 .

Donc mes (A2) = mes(B2) = 30 ^o = π/6 .

De plus, BE = BC = 1, et AE = AD , donc BEC et AED sont isocèles , il vient donc:

mes(E2) = mes (C2) = mes (D2) = mes (E3) = (180^o - 30^o)/2 = 150^o/2 = 75^o.

D'où:

mes (C1) = mes(D1) = 90 - 75 = 15^o = π/12.

2) Loi des cosinus dans le triangle (EBC) :

EC² = BC² + EB² - 2 (BC)(EB) cos (B2)
= 1² + 1² - 2(1)(1) cos (π/6) = 2 - 2√3 /2 = 2 - √3.

Le trangle EDC est isocèle, donc la perpendiculaire (EH) à (DC) médiane.
D'où DC = HC = 1/2.

La propriété de Pythagore dans le triangle (EHC) s'écrit:
EC² = EH² + HC² , ou
EH² = EC² - HC² = (2 - √3) - (1/2)² = 2 - 1/4 - √3 = 7/4 - √3
Or,

7/4 - √3 = (1/4) (7 - 4 √3)= (1/4) (3 + 4 - 2 x 2√3) =
= (1/4) [(√3)² + (2)² - 2 x 2 x √3] =
(1/4) [(2)² - 2 x 2 x √3 + (√3)²] = (1/4)(2 - √3)²

7/4 - √3 = (1/4)(2 - √3)²

Il vient donc:

EH² = (1/4)(7/4 - √3) = ((1/4))(2 - √3)². D'où:

EH = (2 - √3)/2

3) Valeur exacte de tg(π/12)

tg(C1) = tg(15⁰) = tg(π/12) = EH/HC = [(2 - √3)/2] / (1/2)= 2 - √3.

tg(π/12) = 2 - √3

4) Valeur exacte de sin(π/12)

On a sin² x = tg² x / (1 + tg² x).
Alors

sin² (π/12) = tg² (π/12)/(1 + tg²(π/12)) =
(2 - √3)²/(1 + (2 - √3)²) =
(2 - √3)²/(1 + 4 - 4√3 + 3) = (2 - √3)² /(8 - 4√3) = (1/4)(2 - √3)² /(2 - √3) =
(1/4)(2 - √3)
D'où :

sin(π/12) = √(2 - √3)/2

5) Côtés d'un triangle avec un angle de π/12



mes(A) = π - (3π/4) - π/6 = π/12

mes(A) = π/12

La loi des sinus dans le triangle (ABC) s'écrit:

• a) b/sin(B) = 6/sin(π/12) = 6/√(2 - √3)/2 = 12/√(2 - √3)

b/sin(B) = 12/√(2 - √3)

Donc

b = sin(B) x 12/√(2 - √3) = sin(π/6) x 12/√(2 - √3)
= (1/2) x 12/√(2 - √3) = 6/√(2 - √3)

b = 6/√(2 - √3)

• b) c/sin(C) = b/sin(B) = 12/√(2 - √3)

Donc

c/sin(C) = c/ sin(3π/4) = 12/√(2 - √3)
sin (3π/4) = sin (π/2 + π/4) = cos(π/4) = √2/2
Alors

c = (√2/2) x 12/√(2 - √3) = 6√2/√(2 - √3)

c = 6√2/√(2 - √3)

-- Abdurrazzak Ajaja
fevrier 2023