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Monotonie d'une fonction
Monotonie d'une fonction
Exemples
On rappelle que :
On dit qu’une fonction f est monotone si et seuleument si (ssi)
elle est soit croissante soit d´ecroissante
• 1) On dit qu’une fonction f est croissante ssi:
pour x et y dans le domaine de définition (DD) de f , si on a
x ≤ y, on a aussi f (x) ≤ f (y).
En langage plus formel, ça donne
∀x, y ∈ DD(f ), x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y).
On dit qu’une fonction f est strictement croissante ssi
pour x et y dans le DD de f , si on a x < y, on a aussi f (x) < f (y).
En langage plus formel, ça donne
∀x, y ∈ DD(f), x < y ⇒ f (x) < f (y).
• 2) On dit qu’une fonction f est décroissante ssi
pour x et y dans le DD de f , si on a x ≤ y, on a aussi f (x) ≥ f (y).
En langage plus formel, ça donne
∀x, y ∈ DD(f), x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y).
On dit qu’une fonction f est strictement décroissante ssi
pour x et y dans le DD de f , si on a x < y, on a aussi f (x) > f (y).
Exemples:
1)
f(x) = x2 + 5 sur R+ = [0, + ∞[
On a:
x ≤ y ⇒ x2 ≤ y 2
⇒ x2 + 5 ≤ y 2 + 5
⇒ f(x) ≤ f(y)
Donc:
x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y) ⇒ f est croissante.
L'encadrement de f(a):
√2 ≤ a < 2
f(√2) = 2 + 5 = 7
f(2) = 4 + 5 = 9
f(√2) ≤ f(a) < f(2) ⇒
7 ≤ f(a) < 9
2)
f(x) = 3 - x2 sur R+ = [0, + ∞[
On a:
x ≤ y ⇒ x2 ≤ y 2
⇒ - x2 ≥ y 2
⇒ 3 - x2 ≥ 3 - y 2
⇒ f(x) ≥ f(y)
Donc:
x ≤ y ⇒ f(x) ≥ f(y) ⇒ f est décroissante.
L'encadrement de f(a):
1 ≤ a < 3/2
f(1) = 3 - (1)2 = 2
f(3/2) = 3 - (3/2)2 = 3/4
f(1) ≥ f(a) > f(3/2) ⇒
2 ≥ f(a) > 3/4
3/4 < f(a) ≤ 2
3)
f(x) = 2/(x - 1) sur I = [- ∞ , + 1[
On a:
x ≤ y ⇒ x - 1 ≤ y - 1 ( x - 1 et y - 1 sont négatifs sur I )
⇒ 1/(y - 1) ≤ 1/(x - 1)
⇒ 2/(y - 1) ≤ 2/(x - 1)
⇒ f(x) ≤ f(y)
Donc:
x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y) ⇒ f est croissante.
L'encadrement de f(a):
-3 < a < - 5/2
f(-3) = 2/(-3 -1) = - 2/4 = -1/2
f(- 5/2) = 2/(-5/2 - 1) = - 4/7
f(-3) < f(a) < f(-5/2) ⇒
- 1/2 < f(a) < - 4/7
- 4/7 < f(a) < - 1/2
4)
f(x) = - 2/(x + 4) sur I = ]- 4 , + ∞[
On a:
x ≤ y ⇒ x + 4 ≤ y + 4 ( x + 4 et y + 4 sont positifs sur I )
⇒ 1/(x + 4) ≥ 1/(y + 4)
⇒ -2/(x + 4) ≤ -2/(y + 4)
⇒ f(x) ≤ f(y)
Donc:
x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y) ⇒ f est croissante.
L'encadrement de f(a):
- 2 < a < 0
f(-2) = - 2/(- 2 + 4) = - 2/2 = - 1
f(0) = - 2/(0 + 4) = - 2/4 = - 1/2
f(-2) < f(a) < f(0) ⇒
- 1 < f(a) < - 1/2
- 1 < f(a) < - 1/2
-- Abdurrazzak Ajaja
mars 2023
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