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Téorème de Thalès: rirect et réciproque

Le théorème de Thalès :



Exercice sur le Théorème de Thalès :



1) Dans le triangle ADF:

a) (BE) // (AC')

D'après le théorème de Thalès direct:

DB' / DF = DB / DA = 2 DC / 3 DC = 2 / 3
DB' / DF = 2 / 3     Relation (1)

b) (CE) // (DB')

D'après le théorème de Thalès direct:

FC' / FA = DC / DA = DC / 3 DC = 1 / 3
FC' / FA = 1 / 3     Relation (2)

2) FB' / FD = FD - B'D / FD = 1 - B'D / FD
= 1 - DB' / DF
D'après la relation (1), on aura:

FB' / FD = 1 / 3

D'après la relation (2), on aura:

FB' / FD = 1 / 3 = FC' / FA

FB' / FD = FC' / FA

D'après le Théorème de Thalès reciproque, on aura:

FB' / FD = FC' / FA ⟹ (B'C') // (DA)     Relation (3)

3) D'après le Théorème de Thalès Direct, on aura:

(B'C') // (DA) ⟹ B'C' / DA = FC' / FA = 1 / 3

D'après la relation (2), on aura:

B'C' / DA = - C'B' / - AD = C'B' / AD = 1 / 3

C'B' / AD = 1 / 3     Relation (4)

4) D'après le Théorème de Thalès Direct, dans la configuration papillon, on aura:

(B'C') // (DA) ⟹ EB' / EB' = EC / EC'

EB / EB' = EC / EC' ⟹ EB / EC = EB' / EC'

(BE) // (AC') et (CE) // (DB') ⟹ EB'FC' est un parallélogramme. D'où:
EB' = C'F et EC' = B'F

Alors:

EB / EC = C'F / B'F = CF' / FB'

D'après le ration (3)

FB' / FD = FC' / FA ⟹ FA / FD = FC' / FB'

On aura donc:

EB / EC = FA / FD     Relation (5)

-- Abdurrazzak Ajaja
octobre 2022