Articles
Mathématiques
Arithmétique dans Z

Théorème de Bézout

Si a et b deux entiers naturels et d leur pgcd alors il existe au moins un couple d'entiers relatifs u et v tel que:

u a + v b = d

Dans le cas oû a et b sont premiers entre eux, d = 1


Théorème de Gauss

Soit n un entier qui divise le produit ab.
Si n est premier avec a, alors il divise b


Démonstration par récurrence

On veut démontrer par récurrence qu'une proposition P(n), fonction d'un entier naturel n et vraie. Pour cela:

• 1) On vérifie l'initialisation, en choisissant la plus petite valeur de n,
• 2) On démontre l'hérédité P(n) ⇒ P(n + 1)
• 3) On fait la conclusion:
P(plus petite valeur de n), P(n) est héréditaire, donc par récurrence P(n) est vrai pour tout entier naturel n ≥ 0.


Théorème de Bézout: Exemple:

n ∈ Z
a = 3n + 8 , et
b = 11n + 29

En utilisant le théorème de Bézout , montrons que a ∧b = 1

Trouvons deux entiers relatifs u et v tel que :

u a + v b = 1

On élimine les termes en n, on choisit donc u = 11 et v = - 3 . Il vient donc:

11 a - 3 b = 33n + 88 - 33 n - 87 = 1

Donc:

∃ u = 11 et v = - 3 / u a + v b = 1 ⇒ a ∧ b = 1


Théorème de Gauss: Démonstration et Exemple:

Supposons que a divise bc et que a et b sont premiers entre eux.

Si pgcd(a; b) = 1 , alors, d'après le théorème de Bézout, il existe (u;v)∈ Z² tel que au + bv = 1.

On a donc auc + bvc = c. Or a/bc par hypothèse et a/auc donc a/(auc + bvc). Ainsi, a/c.

Exemple:

a = 8 , b = 15 ,

On a a ∧ b = 1

8 u + 15 v = 1 . On peut prendre u = 2 et v = - 1, et l'on aura:

2 x 8 - 1 x 15 = 1 : Relation vérifiée.

On prend c = 16 , donc:

On a donc 8 x 2 x 16 + 15 x (-1) x 16 = 16 .

Or 8/15 x 16 par hypothèse et 8/8 x 2 x 16 donc a/(8 x 2 x 16 + 15 x (-1) x 16). Ainsi, 8/16.


Récurrence : Exemple:

On veut prouver par récurrence que si n , un entier naturel, est impaire, alors: 8 divise 7ⁿ + 1.

n impair ⇒ n = 2m + 1 , m ∈ Z.

Si 8 divise zⁿ + 1, alors
7ⁿ + 1 = 8 k , k &isin Z.


La proposition à considérer est donc:

P(m): 7^{2m + 1} + 1 = 8 k , k ∈ Z

1) P(0) : Avec le rang m = 0, on a 7^{0 + 1} + 1 = 7 + 1 = 8
D'où k = 1 est . Dans ce cas P(0) est vraie.

2) P(m + 1) : 7^2(m+1) + 1 = 8 k est elle vraie ?

7^2(m+1) + 1 = 7² 7^2m + 1 = 8 k

Partons de P(m): 7^{2m + 1} + 1 = 8 k

Multiplions ctte égalité membre à membre par 7². Il vient:

7² 7^2m + 7² = 8 7² k
7² 7^2m + 1 - 1 = 8 7² k - 7²
7² 7^2m + 1 = 8 7² k - 48
7² 7^2m + 1 = 8 7² k - 6 x 8
7² 7^2m + 1 = 8 (7² k - 6)
En posant k' = (7² k - 6) ∈ Z, on peut ecrire:

7² 7^2m + 1 = 8 k'. C'est à dire que 7² 7^2m + 1 = est un multiple de 8, ou que 8 divise l'expression : 7² 7^2m + 1

On a donc P(m + 1) vraie.

Conclusion:

P(0) est vraie, P(m) est héréditaire, donc par récurrence P(m) est vrai pour tout entier naturel m ≥ 0, c'est à dire pour tout entier naturel n impair > 0.

-- Abdurrazzak Ajaja
mars 2024