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Exemple 1

Soit la fonction g définie par: A = ]- ∞, 0] vers B = [-1/3, 1[

x ----> y = g(x) = (x² - 1)/(x² + 3)

1. g est-elle une bijection ?

Pour cela, il faut prouver que :

∀ y ∈ B : ∃! x ∈ A, / y = g(x).

Pour chaque valeur y de B = [-1/3, 1[, on aura deux valeurs de x dans A qui seront x1 et x2 qui satisferont l'égalité y = g(x).

En effet, soit deux valeurs x1 (>0) et x2 = - x1(<0) de Ao = R = ] - ∞, + ∞[, on aura l'égalité:

y = (x1² - 1)/(x1² + 3 = (x2² - 1)/(x2² + 3

Pour une valeur de y nous aurons 2 valeurs de x . Donc la fonction g n'est pas bijective"

Par contre, la restriction de Ao = R à A = R^- implique ume bijection, puisqu'on élimine x1, la valeur positive des x qui satisferont : y = (x2² - 1)/(x2² + 3.

Ainsi g de A vers B est une bijection.

2. Quelle est la bijection réciproque ?

∀ y ∈ B , ∃! x / y = g(x)

y = x² - 1)/(x² + 3) ⇒

(x² + 3)y = x² - 1 ⇒

(x²y + 3y - x² + 1 = 0 ⇒

(x²(y - 1) + 3y + 1 = 0 ⇒

(x²(1 - y) = 3y + 1 ⇒

x _1,2 = ± √(3y + 1/(1 - y))

Mais x ∈ ]- ∞,0] ( x ≤ 0). Donc , l'unique solution est

x _1,2 = - √(3y + 1/(1 - y))

La bijection réciproque de g est alors :

y ∈ [-1/3, 1[ : g^-1 (y) = - √(3y + 1/(1 - y))

Ou de façon générale:

x ∈ [-1/3, 1[ : g^-1 (x) = - √(3x + 1/(1 - x))

-- Abdurrazzak Ajaja
octobre 2023