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Arithmétique dans Z

Dans ces deux exercices, Nous allons utiliser les deux formules suivantes:






1) Exercice 1: On se propose d'étudier la primalité du nombre entier naturel :

          M(n) = (3ⁿ - 1)/2

                n ∈ N


On veut démontrer l'implication « si M(n) est premier, alors n est premier » en utilisant la contraposée de « si n n'est pas premier, alors M(n) n'est pas premier ».

Si n est non premier, on peut ecrire n = p x q
avec p et q ∈ N \{0, 1, n}

On utilise la formule de Benoulli:

3ⁿ - 1ⁿ = (3^p)^q - (1^p)^q = 3ⁿ - 1ⁿ x Somme(q) = (3 - 1) x Somme(p) x Somme(q) = 2 x Somme(p) x Somme(q) ,

Il vient donc: M(n) = (3ⁿ - 1)/2 = 2 x Somme(p) x Somme(q) /2 = Somme(p) x Somme(q) C'est donc un produit de deux facteurs différents de 1. Donc M(n) = (3ⁿ - 1)/2 n'est pas premier.

La contraposée est alors vraie: (3ⁿ - 1)/2 est premier implique n premier .

        (3ⁿ - 1)/2 est premier ⇒ n premier .

2) Exercice 2: On se propose d'étudier la primalité du nombre entier naturel :

      M(n) = 11... 1 (1 n fois)

      n ∈ N


On a M(n) = 10^{n - 1} + 10^{n - 2} + ... + 10¹ + 10⁰

Qui est une suite géométrique de raison 10. M(n) = (10 - 1) x (10ⁿ - 1 )/ (10 - 1) = (10ⁿ - 1)/9

M(n) = (10ⁿ - 1)/9


On veut démontrer l'implication « si M(n) est premier, alors n est premier » en utilisant la contraposée de « si n n'est pas premier, alors M(n) n'est pas premier ».

Si n est non premier, on peut ecrire n = p x q
avec p et q ∈ N \{0, 1, n}

On utilise la formule de Benoulli:

10ⁿ - 1ⁿ = (10^p)^q - (1^p)^q = 10ⁿ - 1ⁿ x Somme(q) = (10 - 1) x Somme(p) x Somme(q) = 9 x Somme(p) x Somme(q)

Il vient donc: M(n) = (10ⁿ - 1)/9 = 29 x Somme(p) x Somme(q) /9 = Somme(p) x Somme(q) C'est donc un produit de deux facteurs différents de 1. Donc M(n) = (10ⁿ - 1)/9 n'est pas premier.

La contraposée est alors vraie: (10ⁿ - 1)/9 est premier implique n premier .

        11...1 (n fois 1) est premier ⇒ n premier .

-- Abdurrazzak Ajaja
Mai, 2024