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Arithmétique dans Z

Exemples

1. On veut déterminer l'ensemble défini par :

H = {n ∈ Z/ n - 6 divise n + 9}

Z/ n - 6 divise n + 9 ⇒ n + 9 = k (n - 6) ; k ∈ Z

n + 9 = k n - 6k
n(1 - k)= - 6k - 9
n(k - 1) = 6k + 9
n = 3(2k + 3)/(k - 1)

Nous avons donc l'expression de l'ensemble H en compréhension :

H = {n ∈ Z/ n = 3(2k + 3)/(k - 1) k ∈ Z \{1} }

On cherche des solutions dans N (n ∈ N)

On trouve des solutions pour

k = 2 → n = 21
k = 4 → n = 11
k = 6 → n = 9
k = 16 → n = 7


H = {7, 9, 11, 21}

Remarque :

On peut aussi le faire simplement comme suit pour avoir l'ensemble H en extension:

n - 6 / n + 9 et
n - 6 / n - 6

Donc , n - 6 / (n + 9) - ( n - 6 ) = 15

Les diviseurs de 15 sont 1, 3, 5, et 15

Donc n - 6 ∈ S = {1, 3, 5, 15}

C'est à dire: n ∈ S = {1 + 6, 3 + 6, 5 + 6, 15 + 6}

H = {7, 9, 11, 21}


2. Montrons que : si n/m alors aⁿ - 1 / a^m - 1

n/m ⇒ m = k n

(a^m - 1)/(aⁿ - 1) = (a^kn - 1)/(aⁿ - 1)

a^kn - 1 = (aⁿ)^k - 1

On a:

x^m - 1 = (x - 1)(x^{m - 1} + x^{m - 2}
+ x^{m - 3} + ... + x^{m - (m - 1)} + x^{m - m})
= (x - 1)(x^{m - 1} + x^{m - 2} + x^{m - 3} + ... + x + 1)

À vérifier en développant.

Donc, avec x = aⁿ:

(aⁿ)^k - 1 = (aⁿ - 1 )( ((aⁿ)^{m - 1} + (aⁿ)^{m - 2}
+ ... + aⁿ + 1)

D'où :

(a^kn - 1)/(aⁿ - 1) = ( ((aⁿ)^{m - 1} + (aⁿ)^{m - 2} + ... + aⁿ + 1)

C'est à dire (aⁿ - 1) divise (a^kn - 1)

Conclusion:

n/m ⇒ aⁿ - 1 / a^m - 1


3. Montrons que (2^{6n + 3} + 3^{4n + 2}) est divisible par 17

On a :

2^{6n + 3} + 3^{4n + 2} = (2⁶)ⁿ x 8 + (3⁴)ⁿ x 9
= 64ⁿ x 8 + 81ⁿ x 9

On a :

64 = 13[17] ⇒ 64ⁿ = 13ⁿ[17]
81 = 13[17] ⇒ 81ⁿ = 13ⁿ[17]

On a donc:

2^{6n + 3} + 3^{4n + 2} = 8 x 13ⁿ[17] + 9 x 13ⁿ[17] = ( 8 + 9) x 13ⁿ[17] = 17 x 13ⁿ[17] = 13ⁿ x 17 [17] = 0 , puisque 17[17] = 0[17] .

Si 2^{6n + 3} + 3^{4n + 2} = 0 [17] ⇒ (2^{6n + 3} + 3^{4n + 2}) est divisible par 17.


4. Recherche d'un diviseur

x = 4294 et y = 3521
x = a q1 + 10 10 < a
y = a q2 + 11 11 < a
On cherche a .

10 < a et 11 < a ⇒ 11 < a

4294 = a q1 + 10
3521 = a q2 + 11

4284 = a q1
3510 = a q2
a > 11

a est donc un diviseur commun de 4284 et 3510.

On utilise la propriété :

Les diviseurs communs à deux entiers x et y sont aussi les diviseurs de leur pgcd .

Nous avons:

pgcd(4284, 3510) = 18
Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6 , 9 et 18

Puisque : a > 11 , alors a = 18

Alors:

a = 18


5. Congruences modulo 37

a) 999/37 = 27 , le reste est égal à 0. Le reste de la divison de 999 par 37 est égal à 27.

b) 999 = 27 x 37 ⇒ 999 = 0 [37]

999 = 10³ - 1 = 0 [37] ⇒ 10³ = 1 [37]

10³ = 1 [37]

10¹⁰ = 10 x (10³)³ ⇒ 10¹⁰ = 10 [37]

10²⁰ = 100 x (10³)⁶ ⇒ 10²⁰ = 100 [37] = 26[37]

10³⁰ = (10³)¹⁰ ⇒ 10³⁰ = 1 [37]

Il vient donc:

10¹⁰ + 10²⁰ + 10³⁰ = 10 [37] + 26 [37] + 1 [37] = 37[37] = 0 [37]

Donc

10¹⁰ + 10²⁰ + 10³⁰ est divisible par 37.


5. On veut prouver que :

a ∧ b = a ∧ (a + b) = a ∧ (a - b)

/ = divise

Soit d1 = pgcd (a,b) et d2 = pgcd(a, a + b)

d2/a et d2/(a + b), donc d2/ (a + b) - a = b.
Donc d2/a et d2/b ⇒ d2/pgcd (a,b) = d1

d1/a et d1/b, donc d1/(a + b)

d1/a et donc d1/(a + b)⇒ d1/pgcd (a,a + b)= d2

d1 et d2 ∈ N. d1/d2 et d2/d1 ⇒ d1 = d2 .
c'est à dire pgcd (a,b) = pgcd(a, a + b)

Même démonstration pour a - b :

soit d1 = pgcd (a,b) et d2 = pgcd(a, a - b)

d2/a et d2/(a - b), donc d2/ (a - b) - a = - b.

d2/- b ⇒ d2/b

Donc d2/a et d2/b ⇒ d2/pgcd (a,b) = d1

d1/a et d1/b, donc d1/(a - b)

d1/a et donc d1/(a - b)⇒ d1/pgcd (a,a - b)= d2

d1 et d2 ∈ N. d1/d2 et d2/d1 ⇒ d1 = d2 c'est à dire pgcd (a,b) = pgcd(a, a - b)

a ∧ b = a ∧ (a + b) = a ∧ (a - b)


Utilisons la relation de Bézout :

Soient a et b, deux entiers naturels non nuls. On pose d = pgcd(a;b). Alors : Il existe au moins un couple d'entiers relatifs non nuls (u;v), tels que : au + bv = d

au + bv = d ⇒ au + bv + av - av = d
a (u - v) + (a + b) v = d

Soit a u' + (a + b) v' = d

Si d est le pgcd de a et b , il est alors aussi celui de a et de (a + b)

De même,

au + bv = d ⇒ au + bv + bu - bu = d
(a - b)u + b (u + v) = d

Soit (a - b)u' + b v' = d

Si d est le pgcd de a et b , il est alors aussi celui de a - b et de a.

Conclusion

pgcd (a, b) = pgcd(a, a + b) = pgcd (a, a - b)

-- Abdurrazzak Ajaja
mars 2024