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Théorie des ensembles

Exercice 1

Soient α et β deux réels strictement positifs.

On aconsidère:
E_α = {x ∈ IR \ |x - 2| < α } et
E_β = {x ∈ IR \ |x - 2| < β }

1) On rappelle que |x - 2| < α ⇔ - α < x - 2 < α
ou
2 - α < x < 2 + α
ou
x∈ ] 2 - α , 2 + α [

----- ]a ------------ 2 ------------ b[-----
----- ]a --- - α ---- 2 --- + α ---- b[-----

a = 2 - α
b = 2 + α

Sur l'ensemble IR, on définit la fonction propositionnelle F_α(x) : |x - 2| < α

E_α est l'ensembles des éléments de IR vérifiant F_α(x).

∃ x ∈ IR / F_α(x) ?

Pour α ≤ 0 , F_α(x): |x - 2| < 0 est fausse

Pour α > 0 , F_α(x): |x - 2| < α est vraie.

Ainsi: <

La proposition ∃ x ∈ IR / F_α(x) est vraie , donc E_α n'est pas vide.

E_α ≠ ∅

Même démonstration pour E_β,

E_β ≠ ∅

2) On suppose que β > α

a) Dans ce cas tous les élements de E_α se trouvent dans E_β, donc

E_α ⊂ E_β



b) E_β/E_α

Ce sont les élements de E_β - E_α. C'est à dire les élements de E_β qui ne sont pas dans E_α.

E_β/E_α = = {x ∈ IR \ x ∈ E_β & x∉ E_α}
= ]c,a] ∪ [b,d[ = ]2 - β,2 - α] ∪ [2 + α,2 + β[

E_β/E_α = ]c,a] ∪ [b,d[ = ]2 - β,2 - α] ∪ [2 + α,2 + β[



Exercice 2

Soit E = {(m,n) ∈ IN² / 3 divise (mn + m + n)}

1) a) our le couple (7,4) , on a 3 divise-t-il (4 x 7 + 4 + 7) = 39 ?
oui 3 divise 39.
Donc (7,4) est un élément de E .
(7,4) ∈ E

Par contre le couple (8,5)∉ E. On effet:
(8 x 5 + 8 + 5) = 53 n'est pas divisible par 3.

2) Si m = 2, qu'elle est la valeur de n pour que le couple (m,n) ∈ E ?

Il faut que (2n + 2 + n) = 3n + 2 soit divisible par 3. C'est à dire qu'il existe un entier non nul k tel que:
3n + 2 = 3k .

3 divise 3n, mais pas 2. l'équation n'est pas possible dans IN.

Ainsi

Il n'exsite pas d'entier n pour que le couple (2,n) divise 3n + 2.

∀ n ∈ IN, (n,2) ∉ E.

2) On pose:

A = {(3m + 1, 3n + 1) / (m,n) ∈ IN² } , et
B = {(3k, 3k + 2) / k ∈ IN}

a) A est-il inclut dans E ?

Pour cela, on doit prouver que si le couple (x,y) ∈ A, alors il est aussi dans E, ou (x,y) est dans A implique (x,y) est dans E.
C'est à dire: (x,y) ∈A ⇒ (x,y) ∈E

(x,y) ∈A signifie que (xy + x + y) est divisible par 3.

On a ici:

(3m + 1 )(3n + 1) + 3m + 1 + 3n + 1 = 9mn + 6m + 6n + 6 = 3(3mn + 2m + 2n + 2) est divisible par 3.

Ainsi ∀ (x,y) ∈ A, (x,y) ∈ E.

A ⊂ E

b) Un couple de E/A est un couple qui est dans E , mais pas dans A.

L'exemple du couple (0,0) ou tous les couples du type (3m,3n) avec (m,n) ∈ IN².

c) On veut prouver que A ∩ B = ∅

On fait un raisoonement par l'absurbe. On suppose que les deux ensembles A et B ne sont pas disjoints A ∩ B ≠ ∅, et on verra..

Alors

∃ (x,y) ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A & x ∈ B

(x,y) de A = (x,y) de B

(3m + 1, 3n + 1) = (3k, 3k + 2), avec m,n et k des entiers naturels

3m + 1 = 3k (1) et
3n + 1 = 3k + 2 (2)

Avec (2) - (1) , on aura :
3(n - m) = 2

Il n'existe pas de multiple de 3 qui est égal à 2.

Il y a donc une contradiction. Ainsi

La proposition ∩ B ≠ ∅ est fausse et ∩ B = ∅ est vraie

A ∩ B = ∅

-- Abdurrazzak Ajaja
octobre 2023