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Théorie des ensembles

Exercice 1

1) (A\B)\C ⇒

x ∈ (A\B) ∧ x ∉ C
(x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ x ∉ C
x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x ∉ C
x ∈ A ∧ (x ∉ B ∧ x ∉ C)

En utilisant la loi de De Morgan

non X ET non Y = non( X OU Y)

x ∉ B ∧ x ∉ C = non (x ∈ B ∨ x ∈ C)

Et la définition de la réunion :
x ∈ B ∨ x ∈ C = x ∈ (B ∪ C)

On a donc:

x ∈ A ∧ non(x ∈ (B ∪ C)). C'est à dire :
x ∈ A ∧ non (x ∈ (B ∪ C)) ou
x ∈ A ∧ x ∉ (B ∪ C))
x ∈ A \(B ∪ C)

(A\B)\C = A \(B ∪ C)

2) (A ∪ B ⊂ A ∪ C ∧ A ∩ B ⊂ A ∩ C) ⇒ B ⊂ C

Soit x ∈ B

Nous avons deux cas: a) x ∉ A &rArr: x &isin A ∪ B ⇒ x ∈ A ∪ C , puisque A ∪ B ⊂ A ∪ C. Donc x ∈ C

b) x ∈ A &rArr: x &isin A ∩ B ⇒ x ∈ A ∩ C , puisque A ∩ B ⊂ A ∩ C.
Donc x ∈ C

Dans tout les cas x ∈ C

Donc x ∈ B ⇒ x ∈ C . C'est à dire:

B ⊂ C


Exercice 2

1) Nous avons:

A ∪ B = {-4, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 5 }, et
A ∩ B = {-1, 0, 1, 2 }

Par un diagramme de venn, on trouve:
A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3 } et
B = {-4, -1, 0, 1, 2, 5 }

2) E = {x ∈ Z / |1 - 2x| ≤ 5 } et
F = {x ∈ Z / 18/(2x - 1) ∈Z }

Nous avons:

a) |1 - 2x| ≤ 5
- 5 ≥ 1 - 2x ≤ 5
- 6 ≥ - 2x ≤ 4
3 ≤ x ≥ - 2 ou
- 2 ≤ x ≤ 3

x ∈ Z:
En extention, E = {-2, -1, 0, 1, 2, 3 }

b) 18/(2x - 1) est relatif. donc 2x -1 divise 18 . C'est à dire 2x - 1 ∈ {-18, -9, -6, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 6,9, 18 }

2x ∈ {-7, -8, -5, -2, -1, -0, 1, 2, 3, 4, 7,10, 19 }

x ∈ Z:
x ∈ {-4, -1, 0, 1, 2, 5 }

En Extention, F = {-4, -1, 0, 1, 2, 5 }

-- Abdurrazzak Ajaja
octobre 2023