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Théorie des ensembles

1. Exercice 1. Lois de Morgan:



2. Exercice 2. Produit cartésien et complémentaire

A et B sont des parties de l'ensemble de référence E.

On veut démontrer que l'ensemble complémentaire du produit cartésien (A x B) dans E x E des deux ensembles A et B est égal à la réunion des ensembles produits cartésiens des complémentaires de ces deux ensemble A et B et de E.

On note C(A,E) le complémentaire de A dans E.

On veut démontrer que :

C(A x B, E x E) = (C(A,E) x E) ∪ (C(B,E) x E)

(x,y) ∈ C(A x B, E x E) ⇒ ( (x,y) ∉ A x B ) ∧ (x,y) ∈ E x E )

⇒ ( x ∉ A ∨ y ∉ B ) ∧ ( x ∈ E ∧ y ∈ E )

⇒ ( x ∉ A ∧ ( x ∈ E ∧ y ∈ E ) ∨ y ∉ B ∧ (x ∈ E ∧ y ∈ E ))

⇒ ((( x ∉ A ∧ x ∈ E ) ∧ y ∈ E ) ∨ ((y ∉ B ∧ y ∈ E) ∧ x ∈ E ))

⇒ (( x ∈ C(A,E) ∧ y ∈ E ) ∨ (y ∈ C(B,E) ∧ x ∈ E )

⇒ (x,y) ∈ C(A,E) x E ) ∨ (x ∈ C(B,E) ∧ y ∈ E )
(x et y sont des variables)

⇒ (x,y) ∈ C(A,E) x E ) ∨ (x,y) ∈ C(B,E) x E )

C'est à dire :

C(A x B, E x E) = (C(A,E) x E) ∪ (C(B,E) x E)

-- Abdurrazzak Ajaja
octobre 2023