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Équations et ensembles

A. Exercice 1 f

Éxiste-t-il une solution de l'équation A ∪ x = B ?

A and B sont des parties d'un ensemble de référence E. Soit des éléments de P(E). On veut trouver un ensemble X de P(E) tel que A ∪ X = B.

Nous avons trois cas de figure:

a) A ∩ B = Φ
b) A ∩ B = C   A ∩ B ≠ Φ
c) A ∩ B = B   A ⊂ B



a) On va d'abord s'assurer, via les figure ci-dessus, que la solution X , de l'équation A ∪ X = B, n'existe pas si A n'est pas inclu B.

Pour le prouver, on va faire un raisonnement par contraposée : On suppose que si A est inclu dans B alors l'équation n'a pas de solutions.

A ⊄ B ⇒ ∄ X / A ∪ X = B

On suppose qu'il existe un ensemble X ∈ P(E) solution de l'équation A ∪ X = B.

Nous avons toujours A ⊂ (A ∪ X). Donc : A ⊂ B

Donc: ∃ X / A ∪ X = B ⇒ A ⊂ B

Sa contraposée est vraie.

A ⊄ B ⇒ ∃ X / A ∪ X = B

Autrement dit, l'équation A ∪ X n'a de solutions que si A ⊂ B. C'est la condition suffisante pour avoir une solution de cette équation.

b)

D'après la figure (c), une solution évidente est: X = B\A (B sans A)

X = B\A est une solution de l'équation A ∪ X = B

Généralement, on faire aussi y apparaître une partie de A aussi.

On a : X = X ∩ E = X ∩ (E\A ∪ A) = X ∩ E\A ∪ X ∩ A     (1)

Posons C = X ∩ A, On aura:

B\A = B ∩ E\A = (A ∪ X) ∩ E\A = (A ∩ E\A ∪ X ∩ E\A = Φ ∪ X ∩ E\A = X ∩ E\A

Donc B\A = X ∩ E\A    (2)

D'après l'équation (1) , on la solution générale:

X = X ∩ E\A ∪ X ∩ A = B\A ∪ C

X = B\A ∪ C   avec C ∈ P(E) et C ⊂ A.

B. Execice 2:

Soit 3 ensembles A, B, C et X des parties de E.

On cherche X qui satisfait le système suivant:

A ∪ X = B et A ∩ X = C

X est bien la réunion des parties verte et jaune =
X = (A ∩ X) ∪ ((A ∪ X)\ A)

= C ∪ B \ A

= C ∪ B \ A

-- Abdurrazzak Ajaja
octobre 2023