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Équations différentielles

1)

On considère l'équation différentielle linéaire du second ordre suivante :

9 y" + π² y = 0     (1)

Qui peut s'écrire:

y" + (π/3)² = 0     (2)

L'ensemble des solutions de cette équation est de la forme:

y = f(x) = A cos ω x + B sin ω x     (3)

Avec : ω = π/3

A et B des constantes ∈ R.

2)a)

Avec les conditions initiales suivantes: f(1) = - √2 et f'(1) = 0 , on aura:

- √2 = f(1) = A cos(π/3) + B sin(π/3) = A (1/2) + B (√3/2)

D'où :

A + √3 B = - 2 √ 2     (4)

On dérive la fonction f:

f'(x) = - A ω sin ω x + B ω cos ω x

Donc:

f'(1) = 0 = - A ω sin ω + B ω cos ω

⇒ 0 = - A sin π/3 + B cos π/3
0 = - A √3/2 + B 1/2
0 = - A √3 + B
B = A √3

B = A √3

D'après le relation (4),

A + √3 A √3 = - 2 √2
4 A = - 2 √2
A = - √2 /2

A = - √2 /2

B = - √2 /2 √3 = - √6/2

B = - √ 6 /2

Les solutions de l'équation sont :

f(x) = (- √2 /2) cos (π/3)x - (√6 /2 )sin (π/3)x     (5)

On va chercher une formule réduite de f(x):

f(x) = (- √2) [(1/2) cos (π/3)x + (√3 /2 )sin (π/3)x]

= (- √2) [sin (π/6) cos (π/3)x + cos(π/6) sin (π/3)x]

Selon la formule: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b, on aura:

f(x) = (- √2) [sin (π/6 + πx/3)]    (6)

b)

f est périodique et de période T si:

f(x) = f(x + T)

(- √2) [sin (π/6 + πx/3)] = (- √2) [sin (π/6 + π(x+T)/3)]

sin (π/6 + πx/3) = sin (π/6 + π(x+T)/3)

Rappel:

Si sin a = sin b, alors
a = b + 2kπ
ou
a = π - b + 2kπ , k ∈ Z

π/6 + πx/3 = π/6 + π(x + T)/3 + 2kπ
ou
π/6 + πx/3 = π - π/6 - π(x + T)/3 + 2kπ

0 = π T/3 + 2kπ ⇒ 0 = T/3 + 2k T = - 6 k

On peut prendre k = 0, ce qui donne T = 0 qui est une période de n'importe quelle fonction.

Pour k = 1 , on aura T = - 6.

On prends : k = - 1 pour se conformer à la définition même de la période d'une fonction:

La période T d'une fonction ƒ est le plus petit nombre réel strictement positif T tel que, quelque soit x du domaine de définion de ƒ, on a: ƒ(x + T) = ƒ( x ) .

Donc T = 6     (7)

c) Vérifions l'inégalité proposée:

f(x) = (- √2) [sin (π/6 + πx/3)]

Nous avons:

- 1 ≤ sin (π/6 + πx/3) ≤ + 1     (8)

Donc:

(+ √2) ≥ (- √2) [sin (π/6 + πx/3)] ≥ (- √2)
ou
(- √2) ≤ (- √2)[sin (π/6 + πx/3)] ≤ (+ √2)

Rappel:   - a ≤ f(x) ≤ + a ⇒ |f(x)| ≤ a     (9)

D'où :

|f(x)| ≤ + √2     (10)

c) On veut résoudre l'équation suivante :

f(x) = 1

f(x) = (- √2) [sin (π/6 + πx/3)] = 1     (11)

sin (π/6 + πx/3) = - 1/(√2) = - √2/2 = sin ( -π/4)

sin (π/6 + πx/3) = sin ( -π/4)

(π/6 + πx/3) = - π/4) + 2kπ
ou
π/6 + πx/3 = π + π/4 + 2kπ
k ∈ Z

C'est à dire:

1/6 + x/3 = - 1/4 + 2k
ou
1/6 + x/3 = 1 + 1/4 + 2k k ∈ Z

x/3 = - 1/6 - 1/4 + 2k
ou
x/3 = 5/6 + 1/4 + 2k
k ∈ Z

D'où:

x = - 1/2 - 3/4 + 6k
ou
x = 5/2 + 3/4 + 6k
k ∈ Z

Finalement:

x = - 5/4 + 6k
ou
x = 13/4 + 6k
k ∈ Z

On cherche les solutions de l'équation dans l'intervalle I = [0,6].

k = 0 → x = - 5/4 ∉ I, x = 13/4 ∈ I
k = - 1 → x = - 29/4 ∉ I , x = - 11/4 ∉ I
k = 1 → x = 19/4 ∈ I , x = 37/4 ∉ I
k = + 2 → x = 43/4 ∉ I, x = 61/12 ∉ I
............

Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation f(x) = 1 est :

S = {13/4, 19/4}

Remarque:

On peut cerner les k pour lesquels l'équation est satisfaite:

x ∈ I ⇒ 0 ≤ x ≤ 6

Donc:

0 ≤ - 5/4 + 6k ≤ 6 , et
0 ≤ 13/4 + 6k ≤ 6

Ce qui donne

5/24 ≤ k ≤ 29/24 , et
- 13/24 ≤ k ≤ 11/24

k ∈ Z, le système se réduit à:

0 ≤ k ≤ 1 , et
0 ≤ k ≤ 0

Finalement, les seules valeurs qui restent pour k son 0 et 1.

k = 0 et k = 1

k = 0 → x = 13/4
et
k = 1 → x = 19/4



Graphe de la fonction f(x), solution de l'équation : 9 y" + π²y = 0

-- Abdurrazzak Ajaja
mars 2024