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Fonctions périodiques

Une fonction est périodique, de période P , si pour tout x et (x + P) du domaine de f, D_f, on a f(x + p) = f(x). Graphiquement, cette fonction possède un motif qui se répète à chaque période du domaine.

Remarque : si P est la période, alors

f(x) = f(x + 3) = f(x + 3 + 3) = f(x + 2 x 3) =
f(x + 2 x 3 + 3) = f(x + 3 x 3 ) = f(x + 3x 3 + 3) = ...
= f( x + k x 3) , avec k ∈ Z

Retenons :

X ∈ R , X = k x P + r , r étant le reste de la division si la fonction f est périodique, de période P . On aura toujours: f(X ) = f(k P + r), f(r) , k ∈ Z

Exemple

Soit f une fonction définie sur D_f = R ayant ses valeurs sur l'intervalle codomaine I = [0;3[, par:

x ∈ R ----> f(x) = (1/9) x³ ∈ I = [0;3[

Ici la borne supérieure de l'intervalle I = [0;3[ est esclue. L'image f(3) retombe sur la borne inférieure d'un intervalle f(0) = 0.

f est périodique, de période P = 3. Donc , par définition:

∀x ∈ R, on a : f(x) = f(x + 3)

1. Voici son graphique de - 3 à + 6



Remarque: P = 3 est la période,donc:

f(0) = f(0 + 3) = f(3) = f(3 + 3) = f(6) = f(6 + 3) = f(9) = f(12) = f(15) = ...


2. P = 3 est la période,donc:

f(0.5) = f(0.5 + 3) = f(3.5)
f(0.5) = f (1/2) = (1/9) x (1/2)³ = 1/9) x (1/8) = 1/72

f(0.5) = 1/72

f(2021) = ?

Commençons par chercher le k:

2021 = k x 3 ⇒ k = 2021/3 = 673

k = 673.
C'est à dire: 2021 = 673 x 3 + 2

Donc:

f( 2021) = f( 2 + 673 x 3) = f(2)
= (1/9) x (2)³ = 8/9

f(2021) = 8/9


3. 2019/3 = 673 ⇒ 2019 = 673 x 3

f(2019) = f( 0 + 673 x 3) f (0) = (1/9) x 0³ = 0.

De même:

2022 = 674 x 3

2022 est exclu de l'intervalle [2019; 2022[, donc f(2022) = f(674 x 3 + 0) = f(0) = 0.

f est définie sur [2019; 2022[ comme elle est définie su [0; 3[
x ∈ R ----> f(x) = (1/9) x³ ∈ I = [0;3[

-- Abdurrazzak Ajaja
novembre 2023