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Limite des fonctions trigonométriques
Continuité d'une fonction en un point

Nous allons utiliser les formules trigonométriques suivantes:

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
cos²a + sin² a = 1
sin (2a) = 2 sin a cos a
cos 2a = cos² a - sin² a =
2 cos² a - 1 = 1 - 2 sin² a
tan a = sin a /cos a

Nous allons utiliser aussi l'identité remarquable suivante :

a² - b² = (a + b)(a - b)

Finalement, ous allons utiliser une limite très importante:

lim sin(x)/x = 1
x → 0

Voici les 7 formes d'indéterminations. Elles peuvent toutes dériver de la forme ∞/∞:



Rappel: Continuité d'une fonction en un point :

Soit a ∈ R . On dit qu'une fonction à valeur réelle f(x) est continue en x = a si:
lim f(x) = f(a)
x → a

Soit a ∈ R . On dit qu'une fonction à valeur réelle f(x) est continue en x = a si elle est continue à gauche de a et à droite de a :

lim f(x) = lim f(x) = f(a)
x → a+     x → a-


Exercice 1

lim (1/x²) (2/2cos x + cos x - 3)
x → 0

a) Appliquer directement, il n'y a aucune forme d'indétermination:

= lim (1/x²) x lim (2/2cos x + cos x - 3)
x → 0

= lim (1/x²) x (2/2cos 0 + cos 0 - 3)
x → 0

= lim (1/x²) x (- 1)
x → 0

= - ∞

lim (1/x²) (2/2cos x + cos x - 3) = - ∞
x → 0


b) lim sin²(πx)/(x - 1)
x → 1

= sin²(π)/(1 - 1) =

= 0/0: valeur indéterminée !

Pour lever l'indétermination, c'est plus facile de faire un changement de variable:

x - 1 = y , donc x = 1 + y.
x → 1 ⇒ y → 0

La formule devient:

lim sin²(π(1+y))/y
y → 0

Nous avons:

sin(π(1+y) = sin (π + πy)= sin (π) cos (π y) + cos (π ) sin (π y) =

0 cos (π y) + (- 1) sin (π y) = - sin (π y)

Donc:

sin²(π(1+y))/y = (- sin (π y)) x (- sin (π y)) =
sin² (π y)

Il vient donc:

lim sin²(π(1+y))/y =
y → 0

lim sin²(πy)/y =
y → 0

lim y sin²(πy)/y² =
y → 0

lim y [sin(πy)/y]² =
y → 0

lim y x lim [sin(πy)/y]² =
y → 0

0 x 1² = 0 , puisque
lim sin x / x = 1
x→ 0

Finalement :

lim sin²(π(1+y))/y = 0
y → 0

c) lim cos 2x /( 1 - tan x)
x → π/4

= cos π/2 / ( 1 - tan π/4) = 0/0: valeur indéterminée !

Pour lever l'indétermination, il faut transformer les expressions trigonométriques.

Nous avons

cos 2x = cos²x - sin² x = (cos x + sinx)(cos x - sin x) , puisque a² - b² = (a + b)(a - b).

On a aussi tan x = sin x /cos x, d'où 1 - tan x = (cos x - sin x)/cos x

Donc:

cos 2x /( 1 - tan x) = (cos x + sinx)(cos x - sin x)/(cos x - sin x)/cos x =
cos x (cos x + sinx), en simplifiant par : (cos x - sin x)

Il vient donc :

lim cos 2x /( 1 - tan x) = lim cos x (cos x + sinx)
x → π/4

= √2/2 (√2/2 + √2/2)
x → π/4

= √2/2 x √2 = 1

Finalement

lim cos 2x /( 1 - tan x) = 1
x → π/4


d) lim cos 4x/(√2 cos 2x - 1)
x → π/8

= cos(π/2)/(√2 cos(π/4) - 1)= 0 / (1 - 1) = 0/0

= 0/0: valeur indéterminée ! Pour lever l'indétermination, il faut transformer les expressions trigonométriques.

Nous avons:

cos 4x = cos (2x + 2x) = cos(2x) cos(2x) - sin (2x) sin(2x) =

cos² 2x - sin² 2x = 2 cos²2x - 1

(√2cos 2x + 1)(√2cos 2x - 1), puisque a² - b² = (a + b)(a - b).

Donc:

cos 4x/(√2 cos 2x - 1) = (√2cos 2x + 1)(√2cos 2x - 1)/(√2 cos 2x - 1) =

(√2cos 2x + 1), en simplifiant par (√2cos 2x - 1).

Il reste donc:

cos 4x/(√2 cos 2x - 1) = (√2cos 2x + 1)

Alors,

lim cos 4x/(√2 cos 2x - 1)
x → π/8

= lim (√2cos 2x + 1) = (√2 cos (π/4) + 1)
x → π/8

= (√2 x √2/2 + 1) = 1 + 1 = 2.

Finalement,

lim cos 4x/(√2 cos 2x - 1) = 2
x → π/8


Exercice 2

Dans le domaine de définition de f D_f = R / {- 1, 0}, on a:

f (x) = (x² + 2)/(x + 1) si x ≤ 0
f(x) = (cos 2x - 1)/√x + 2 si x ≥ 0

1) lim f(x) = (0² + 2)/(0 + 1) = 2/1 = 2
x → 0-

lim f(x) = 2     (limite 1)
x → 0-

lim f(x) = (cos 2 x 0 - 1)/√0 + 2 = (1 - 1)/0 + 2 = 0/0 + 2
x → 0+

= 0/0: valeur indéterminée !

Pour lever l'indétermination, il faut transformer les expressions trigonométriques.

cos 2x = 1 - 2 sin² x


Alors:

f(x) = (cos 2x - 1)/√x = - 2 sin² x/ √x

- 2 √x sin² x/ x = - 2 x √x sin² x/ x² =

- 2 x √x (sin x/ x)²

Passons à la limite. Puisque lim sin x/x = 1 lorsque x → 0, on aura :

lim f(x) = - 2 x 0 √0 (1)² + 2 = 0 + 2 = 2
x → 0+

lim f(x) = 2     (limite 2)
x → 0+

On trouve : limite 1 , limite à gauche = limite 2, limite à droite .

lim f(x) = lim f(x)
x → 0+     x → 0+

Ainsi ,la fonction f est continue au point a = 2

2) limite f(x)
x → - ∞

Ici x ≤ 0, donc f (x) = (x² + 2)/(x + 1)

lim (x² + 2)/(x + 1) =
x → - ∞

Puisque x est très grand:

= lim (x²/x) = lim x = - ∞
x → - ∞       x → - ∞

lim (x² + 2)/(x + 1) = - ∞
x → - ∞

3) • limite f(x) =
x → - 1+

limite f(x) = (x² + 2)/(x + 1)= (1 + 2)/(- 1 + 1) = 3/0+ = + ∞
x → - 1+

limite f(x) = + ∞
x → - 1+

• limite f(x) =
x → - 1-

limite f(x) = (x² + 2)/(x + 1)= (1 + 2)/(- 1 + 1) = 3/0- = - ∞
x → - 1-

limite f(x) = - ∞
x → - 1-

4) x ∈ ]0, +∞[, x > 0. Donc:

f(x) = (cos 2x - 1)/√x + 2

f(x) - 2 = (cos 2x - 1)/√x

Nous avons toujours - 1 ≤ cos(2x) ≤ + 1. Donc:

- 2 ≤ cos(2x) - 1 ≤ 0

x > 0 ⇒ √x > 0 , donc:

- 2/√x ≤ (cos(2x) - 1)/√x ≤ 0/√x

ou

- 2/√x ≤ (cos(2x) - 1)/√x ≤ 0

ou

- 2/√x ≤ f(x) - 2 ≤ 0

D'où :

|f(x) - 2| ≤ 2/√x

À + ∞ , 2/√x tends vers 0 , f(x) - 2 tends vers 0 , donc f(x) tends vers 2.

Ainsi:

lim f(x) = 2 x → + ∞


Exercice 3

lim (cos ax - cos bx )/x² x→ 0

On veut transformer l'expression: cos ax - cos bx

On sait que:

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b

cos(a + b) - cos(a - b) = - sin a sin b
- sin a sin b = - 2 sin a sin b

On chanque les variables:

a + b = p
a - b = q

⇒ a = (p + q)/2 et b = (p - q)/2

cos(p) - cos(q) = - 2 sin (p + q)/2 sin (p - q)/2

• cos(ax) - cos(bx) = - 2 sin (ax + bx)/2 sin (ax - bx)/2

= - 2 sin x(a + b)/2 sin x(a - b)/2

= - 2 sin xp/2 sin xq/2

= - 2 sin xp/2 / xp/2 sin xq/2 / xq/2 . (px/2) (qx/2)

Pour que ça soit lisible, on change les variables comme suit:

px/2 = A et xq/2 = B Donc

Donc:

cos ax - cos bx = - 2 sinA/A sinB/B . A B

Il vient donc,

(cos ax - cos bx )/x² = - 2 sinA/A sinB/B . A B / x²

Avec A . B = : (pq/4) x²:

(cos ax - cos bx )/x² = - 2 sinA/A sinB/B . (pq/4) x²/ x² =

= - 2 sinA/A sinB/B . (pq/4)

Lorsque x → 0 A → 0 et B → 0 , donc sinA/A → . et sinB/B → 1, puisque lim sin x/x = 1 lorsque x → 0.

Il reste - 2(pq/4)

Il vient donc:

lim (cos ax - cos bx )/x² = - 2(pq/4)
x→ 0

= - (1/2) p q = - (1/2) (a + b )(a - b )

= - (1/2) (a² - b²)

= (1/2) (b² - a²)

Finalement :

lim (cos ax - cos bx )/x² = (b² - a²)/2
x→ 0

-- Abdurrazzak Ajaja
Janvier 2024