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Mouvement circulaire uniforme

Um mouvement circulaire uniforme possède une vitesse linéaire v constante. Cette vitesse est liée à la vitesse agulaire par la relation v = ω R . R est le rayon de l'orbite circulaire du mobile. La vitesse angulaire ω est liée à la période T de révolution par la relation: T = 2π/ω.
Rappelons aussi que chaque temps t écoulé du mouvement circulaire comprends un certain nombre n de tours ou de périodes T , c'est à dire : t = n T.

L'équation horaire de ce mouvement s'ecrit :

θ (t)= ω t + θ_O

θ_O et l'angle initial en radians.

Exemple

Circuit de voitures électriques miniaturisé.



1. Vitesse linéaire v = L/t = 60 cm/60 s = 1 cm/s

v = 1 cm/s


2. Pour le mobile A :

θ_A(t) = ω_A t + θ_OA
v = ω_A R _A
θ_OA = π/3

θ_A (t) = ω_A t + π/3


Pour le mobile B :

θ_B(t) = ω_B t + θ_OB
v = ω_B R _B
θ_OB (0) = π/3

θ_B = ω_B t + π/3

On remarque que:

v = ω_A R _A = ω_B R _B

Ecrivons:

ω_A R _A = ω_B R _B


3. Le mobile A se retrouve en A après N_A tours
Au début en A, à t = 0:θ_A (0) = π/3

Le mobile B se retrouve en B après N_B tours Au début en B, à t = 0: θ_B (0) = π/3

Après N_A tours du mobile A, et N_B du mobile B, les deux mobiles se retrouvent simultanément en A et B.

Cela s'ecrit

θ_A (t) = θ_B (t) + 2 k π k ∈ N
⇒ ω_A t + π/3 = ω_B t + π/3 + 2 k π
⇒ ω_A t + π/3 = ω_B t + π/3 + 2 k π
⇒ ω_A t - ω_B t = 2 k π
⇒ t(ω_A - ω_B) = 2 k π

⇒ t = 2 k π /(ω_A - ω_B)

⇒ t = 2 k π /(v/R_A - v/R_B)

⇒ t = ( 2kπ/v)/(1/R_A - 1/ R_B)

Pour une première rencontre: k = 1 , donc

t_R = (2π/v)/(1/R_A - 1/ R_B)


3. Nous avons t_R = N_A x T_A T_A étant la période de révolution du mobile A = 2π/ω_A

Donc :

t_R = N_A x 2π/ω_A

et N_A = t_R/2π/ω_A = t_R/2π/(v/R_A) = v t_R/(2πR_A)

N_A = ( 2π)/(1/R_A - 1/ R_B)/(2πR_A)

N_A = v t_R/(2πR_A)

Compte tenu de l'expression de t_R, on a :

N_A = R_B/(R_B - R_A)

= 80/(80 - 60) = 4

N_A = 4 tours

Avec le même calcul:

N_B = R_A/(R_B - R_A))

= 60/(80 - 60) = 3

N_B = 3 tours


4. On peut calculer le temps t_R de rencontre par la formule:

N_A = v t_R/(2πR_A)

Donc:

t_R = 2πR_A x N_A/v

t_R = 2π 60cm x 4/1cm secondes =
= 2 π 60 x 4 secondes = 480π secondes = 1508 secondes = 25 minutes

t_R = 25 minutes

-- Abdurrazzak Ajaja
novembre 2023