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Opérations sur les ensembles

Exemple 1

Soit trois ensembles A, B, et C, parties de l'ensemble E non vide, tel que C ⊂ A ⊂ B.

On demande de résoudre le système suivant:

A ∪ X = B et A ∩ X = C.

Nous avons :

X = (X ∩ A) ∪ (X\A)
= (X ∩ A) ∪ (X ∩ nonA)
= C ∪ (X ∩ nonA)       (1)

On a aussi:

A ∪ X = B ⇒ (A ∪ X) ∩ nonA = B ∩ nonA
⇒ A ∩ nonA ∪ X ∩ nonA = B ∩ nonA A ∩ nonA = Φ
⇒ X ∩ nonA = B ∩ nonA       (2)

X = C ∪ (B ∩ nonA )

X = C ∪ (B ∩ nonA ) est la solution cherchée.

On peut le vérifier :

1. A ∩ X = A ∩ ((C ∪ (B ∩ nonA )
= A ∩ C ∪ (A ∩ B ∩ nonA) = A ∩C ∪Φ
= A ∩C = C (puisque C ⊂ A)

2. A ∪ X = (C ∪ (C ∩ nonA)) ∪ A
= C ∪ (B ∩ nonA) ∪ A = C ∪ ((B ∪ A ) ∩ (nonA ∪ A) )

= C ∪ ((B ∪ A) ∩ E ) = C ∪ (B ∪ A)

C ∪ B ∪ A = C ∪ B (puisque A ⊂ B)
= B (puisque C ⊂ B)

On peut montrer aussi que
X = B\A ∪ (A ∪ X), c'est dire:
X = B\A ∪ C .
est une autre solution , équivalente à la première .


Exemple 2

On de mande de prouver que

Si A ⊂ B &and B ⊂ C and C ⊂ A , alors A = B = C

I: A ⊂ B &and B ⊂ C and C ⊂ A :

On a A ⊂ B &and B ⊂ C ⇒ A ⊂ C

Donc

I: A ⊂ B &and B ⊂ C and C ⊂ A :

I : A ⊂ C and C ⊂ A ⇒ A = C

B ⊂ C and C ⊂ A ⇒ A = B

Donc

A = B = C

Exemple 3

X, A et B sont des parties de l'ensemble E.

On demande de prouver que:

1. X = (X ∪ A) ∩ (X ∪ non A)
2. (X ∩ A) ∪ (X ∩ non A

Et de résoudre : A\X = X\A

∀ X ∈ P(E)

(X ∪ A) ∩ (X ∪ non A) =

(X ∩ X) ∪ (X ∩ non A) ∪ (A ∩ X) ∪ (A ∩ non A)

= X ∪ (X ∩ non A) ∪ (A ∩ X)

Puisque : X ∩ non A) ⊂ X

= X ∪ (A ∩ X) Puisque : A ∩ X ⊂ C

= X

2. ∀ X ∈ P(E)

(X ∩ A) ∪ (X ∩ non A) =

(X ∪ X) ∩ (X ∪ non A) ∩ (A ∪ X) ∩ (A ∩ non A)

= X ∩ (X ∪ non A) ∩ (A ∪ X) ∩ E

Or (X ∩ non A) ⊂ X

= X ∩ (A ∪ X) = X

puisque X ⊂ A ∪ X

= X

3. Cherchons l'ensemble des solutions de l,équation: que A\X = X\A

X\A = A\X
⇒ X ∩ non A = A ∪ non X

⇒ = (X ∩ non A) ∪ (X ∩ A) = (A ∪ non X) ∪ (X ∩ A)

⇒ X = A

L'ensemble des solutions de l'équation est S = {A}

On peu le vérifier :

A\A = A\A

-- Abdurrazzak Ajaja
octobre 2023