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Arithmétique dans Z

Nous utiliserons le relation :

PPCM(a,b) x PGCD(a,b) = a x b

Qui sera démontrée en annexe, à la fin de la page.


Exemple 1

On veut déterminer tous les couples (a, b) d'entiers naturels tels que :

pgcd(a, b) + ppcm (a, b) = b + 9    (1)

On pose :

d = pgcd(a, b)     (2) , et
m = ppcm (a, b)    (3)

Soit donc la relation :

d + m = b + 9     (4)

On utilise la relation

d m = a b     (5)

On a donc : d divise b et divise m . D'après (4) d est un diviseur de 9 .

Les valeurs possibles de d seront alors 1 , 3 et 9

• d = 1

On a donc d = pgcd(a, b) = 1. a et b sont premiers entre eux. La relation (4) devient :

1 + m = b + 9. ou

m = b + 8     (6)

La relation ( 5) donne : m = ab . (6) devient :

ab = b + 8 ou b(a - 1) = 8 . Donc b entier divise 8: On a alors les cas suivants:

b = 1 , donc a = 9 .
Le couple (9, 1) est solution.
b = 2 , donc a = 5 .
Le couple (5, 2) est solution.
b = 4 , donc a = 3 .
Le couple (3, 4) est solution.

b = 8 , donc a = 2 .
Le couple (2,8) ne peut être solution, puisque 2 et 8 ne sont pas premier entre eux.

• d = 3

La relation (4) s'ecrit:

3 + m = b + 9 ou m = b + 6

La relation (5) d m = a b , s'ecrit:

3 m = a b

On aura alors ab/3 = b + 6 , ou

b(a/3 - 1) = 6. ou encore:

b(a - 3) = 18

b divise 18 . Les valeurs possibles de b sont:
1, 2, 3, 6, 9 , et 18 .

Mais b est un multiple de d = 3 . Il reste donc 3, 6 , 9 , et 18 comme valeurs possibles de b.

b = 3 , donc 3(a - 3) = 18 ⇒ a - 3 = 6 ou a = 9 .
Le couple (9, 3) est une solution.

b = 6, donc 6(a - 3) = 18 ⇒ a - 3 =3 ou a = 6 .
Le couple (6, 6) n'est pas une solution, puisque le pgcd(6,6) n'est pas égal à 3.

b = 9, donc 9(a - 3) = 18 ⇒ a - 3 =2 ou a = 5 .
Le couple (5,9) n'est pas une solution, puisque le pgcd (5,9) n'est pas égal à 3.

b = 18, donc 18(a - 3) = 18 ⇒ a - 3 =1 ou a = 4 .
Le couple (4,18) n'est pas une solution, puisque le pgcd (4,18) n'est pas égal à 3.

• d = 9

Les relations (4) et (6)
d + m = b + 9
d m = a b
deviennent:

9 + m = b + 9
9 m = a b

Donc:

m = b et a = 9

Il y a deux cas possibles pour b :

• b non nul

m étant un multiple de 9 . les solutions sont sont les couples (9, 9k) , k ∈N, avec b non nul.

• b = 0

Dans ce cas a est quelconque et pgcd(a, 0) = a et ppcm(a,0) = 0 , et la realtion (1) pgcd(a, b) + ppcm (a, b) = b + 9 devient :

a + 0 = 0 + 9

Donc le couple (a, 0 ) est aussi solution.

Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation (1) est :

S = {(9,1),(5,2),(3,4),(9,3),(9,9k), k∈N }


Exemple 2

On veut déterminer les paires (a,b) d'entiers naturels non nuls telles que

2 m + 7 d = 111

m désignant le PPCM et d le PGCD de a et b.

Posons: a = d a' et b = d b' avec a'∧ b' = 1 .
(a' et b' sont premiers entr eux).

On utilise la propriété d m = a b

Alors :

m = d a' d b'/d = d a' b'

La relation s'ecrit donc :

2 m + 7 d = 111
2 d a' b' + 7 d = 111
d(2a'b' + 7) = 111

Ainsi d est un diviseur de 111 = 1 x 3 x 37 .
C'est à dire que d est soit 1, soit 3, soit 37.

Nous examinons donc chacun des trois cas:

1) d = 1 , donc 2a'b' + 7 = 111 ⇒ a'b' = 52,

a'b' = 1 x 2 x 2 x 13

Avec a' et b' des entiers nuturels et premiers entre eux, on aura:

a' = 1 et b' = 52
a' = 52 et b' = 1 , et

a' = 4 et b' = 13
a' = 13 et b' = 4, et

a' = 2 et b' = 26
a' = 26 et b' = 2

Mais 2 et 26 ne sont pas premieres entre eux . Le couple (2, 26) ne sera pas considéré.

2) d = 3 , donc 2 a'b' + 7 = 37 ⇒ a'b' = 15,

Avec a' et b' des entiers nuturels et premiers entre eux, on aura:

a' = 1 et b' = 15
a' = 3 et b' = 5
a' = 15 et b' = 1
a' = 5 et b' = 3

3) d = 37 , donc 2 a'b' + 7 = 3 ⇒ a'b' = - 2,

Avec a' et b' des entiers nuturels, on aura pas de solutions.

1) d = 1

a = d = 1 et b = 52 d = 52
et son couple symétrique correspondant :
a = 52 d = 52 et b = 1 d = 1

a' = 4 et b' = 13
et son couple symétrique correspondant :
a = 13 et b = 4

2) d = 3

a = d = 3 et b = 15 d = 45
a = 3d = 9 et b = 5 d = 15
et les deux couples symétriques correspondants:
a = 15 d = 45 et b = 3
a = 5 d = 15 et b = 3 d = 9

3) d = 3 pas de solutions.

Finalement, l'ensemble des solutions est donc:

S = {(1,52),(3,45),(9,15),(4,13) }


Annexe:

On démontre ici la formule :

pgcd(a, b)x ppcm(a,b) = a x b

On pose:

d = pgcd(a, b) m = ppcm(a,b) On pose :

a = d a' et b = d b'

Avec pgcd(a',b') = 1 ou a et b sont premiers entre eux.

Donc ab = d² a' b'

On pose a b = g d

On aura donce k = ab/d = d a' b' = a b' = a' b
g, un entier naturel non nul, multiple de a et de b.

On va montrer que :

a) g est un multiple commun de a et de b b) g est le plus petit multiple


a) On aura donc g = ab/d = d a' b' = a b' = a' b
g est alors un multiple de a et de b

b) Si p est un autre multiple de a et de b, alors:
p = r a = s b, et donc :
p = r d a' = s d b' , d'où: r a' = s b'.

Or pgcd(a', b') = 1

a' divise s b' donc a' divise s , et donc a'b divise sb . Ainsi:

ab = dg devient : g = ab/d = a' b. Mais a'b divise s b qui vaut p , et donc g reste le plus petit multiple commun à a et à b. Soit: g = ppcm(a,b).

-- Abdurrazzak Ajaja
Avril 2024