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Circuits parallèles

Circuit composé d'une source de tension \(e(t)\) en série avec un condensateur \(C\) et une branche parallèle (résistance \(R\) et inductance \(L\))

Question 1.

Tensions en quadrature . On impose aux bornes du dipole AB la tension UAB(t)= Um cos (ωt).

La référence des potentiel est prise en E et on suppose le régime permanent établi.

On considère la tension de sortie UDE(t) = Vm cos(ωt + φ) entre les deux dérivations.

1. Determiner l' expression de Vm et de φ en fonction de R, C &omeag; et Um"
2. Pour quelle valeur de w, les tension uAB et uDE sont elles en quadrature de phase

1. Les points D et E étant des nœuds intermédiaires, leur potentiel doit être déterminé par rapport à un point de référence (par exemple, le point B, dont le potentiel sera pris égal à zéro).

1. Déterminer le potentiel au point D (\(V_{D}\))

Le point D se situe dans la branche supérieure. Cette branche est composée d'un condensateur C et d'une résistance R en série, connectés entre les points A et B.

En supposant que le condensateur est branché en premier depuis A, le potentiel au point D est la tension aux bornes du condensateur.

• L'impédance de la branche supérieure est :

\(Z_{sup}=R+\frac{1}{j\omega C}\).

• Le courant dans cette branche est:

\(I_{sup}=\frac{U_{AB}}{Z_{sup}}=\frac{U_{AB}}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{U_{AB}\cdot j\omega C}{1+j\omega RC}\).

• Le potentiel au point D par rapport à B (en considérant \(V_{B}=0\)) est la tension aux bornes de la résistance R de la branche supérieure, soit

\(V_{D}=I_{sup}\cdot R=\frac{U_{AB}\cdot j\omega C}{1+j\omega RC}\cdot R=\frac{j\omega RC\cdot U_{AB}}{1+j\omega RC}\).

• En revanche, si la résistance est branchée en premier, le potentiel au point D est la tension aux bornes de la capacité C, soit \(V_{D}=I_{sup}\cdot \frac{1}{j\omega C}=\frac{U_{AB}}{1+j\omega RC}\).

2. Déterminer le potentiel au point E (\(V_{E}\))

Le point E se situe dans la branche inférieure. Cette branche est composée de deux résistances R en série, connectées entre les points A et B. Il s'agit d'un simple diviseur de tension.

• L'impédance de la branche inférieure est \(Z_{inf}=R+R=2R\).

• Le courant dans cette branche est \(I_{inf}=\frac{U_{AB}}{Z_{inf}}=\frac{U_{AB}}{2R}\).

• Le potentiel au point E par rapport à B (en considérant \(V_{B}=0\)) est la tension aux bornes d'une des résistances R, soit \(V_{E}=I_{inf}\cdot R=\left(\frac{U_{AB}}{2R}\right)\cdot R=\frac{U_{AB}}{2}\).

3. Calculer la tension \(u_{DE}\)

La tension complexe aux bornes des points D et E est la différence de potentiel entre ces deux points :
\(U_{DE}=V_{D}-V_{E}\)

La tension aux bornes du condensateur est le potentiel mesuré en D.

\(U_{DE}=\frac{U_{AB}}{1+j\omega RC}-\frac{U_{AB}}{2}=U_{AB}\left(\frac{1}{1+j\omega RC}-\frac{1}{2}\right)\)

En mettant au même dénominateur:

\(U_{DE}=U_{AB}\left(\frac{2-(1+j\omega RC)}{2(1+j\omega RC)}\right)=U_{AB}\left(\frac{1-j\omega RC}{2(1+j\omega RC)}\right)\)

On peut simplifier cette expression en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, \(1-j\omega RC\).

\(U_{DE}=U_{AB}\left(\frac{1-j\omega RC}{2(1+j\omega RC)}\right)\cdot \left(\frac{1-j\omega RC}{1-j\omega RC}\right) = \)

\( U_{AB}\left(\frac{(1-j\omega RC)^{2}}{2(1+(\omega RC)^{2})}\right)= U_{AB}\left(\frac{1-(\omega RC)^{2}-2j\omega RC}{2(1+(\omega RC)^{2})}\right)\)

\(U_{DE}= U_{AB}\left(\frac{1-(\omega RC)^{2}}{2(1+(\omega RC)^{2})}-j\frac{2\omega RC}{2(1+(\omega RC)^{2})}\right)= U_{AB}\left(\frac{1-(\omega RC)^{2}}{2(1+(\omega RC)^{2})}-j\frac{\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}\right)\)


4. Déterminer l'amplitude \(V_{m}\) et le déphasage \(\phi \)

L'amplitude \(V_{m}\) est le module de l'expression de \(U_{DE}\) et le déphasage \(\phi \) est l'argument.

\(V_{m}=|U_{DE}|=|U_{AB}|\cdot \left|\frac{1-j\omega RC}{2(1+j\omega RC)}\right|=U_{m}\cdot \frac{|1-j\omega RC|}{|2(1+j\omega RC)|}\)

\(V_{m}=U_{m}\cdot \frac{\sqrt{1^{2}+(-\omega RC)^{2}}}{2\sqrt{1^{2}+(\omega RC)^{2}}}=U_{m}\cdot \frac{\sqrt{1+(\omega RC)^{2}}}{2\sqrt{1+(\omega RC)^{2}}}\)

\(V_{m}=\frac{U_{m}}{2}\)

Le déphasage \(\phi \) est l'argument de l'expression :

\(\phi =\arg \left(\frac{1-j\omega RC}{2(1+j\omega RC)}\right)=\arg (1-j\omega RC)-\arg (2(1+j\omega RC))\)

\(\phi =\arctan \left(\frac{-\omega RC}{1}\right)-\arctan \left(\frac{\omega RC}{1}\right)=-\arctan (\omega RC)-\arctan (\omega RC)\)

\(\phi =-2\arctan (\omega RC)\)


Question 2.

Les tensions \(u_{AB}\) et \(u_{DE}\) sont en quadrature de phase lorsque le déphasage \(\phi \) est égal à \(\pm \frac{\pi }{2}\) radians.

À partir du calcul précédent, le déphasage est donné par l'expression :\(\phi =-2\arctan (\omega RC)\)

Pour que les tensions soient en quadrature de phase, nous devons résoudre l'équation :\(-2\arctan (\omega RC)=\pm \frac{\pi }{2}\)

En divisant par -2 :\(\arctan (\omega RC)=\mp \frac{\pi }{4}\)

En prenant la tangente des deux côtés de l'équation :

\(\omega RC=\tan \left(\mp \frac{\pi }{4}\right)\)

Nous savons que \(\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)=1\) et \(\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1\).

Par conséquent :

\(\omega RC=\mp 1\)

Puisque la pulsation \(\omega \) et les valeurs de résistance \(R\) et de capacité \(C\) sont des quantités positives, la seule solution possible est :\(\omega RC=1\)

En isolant \(\omega \), on obtient la valeur de la pulsation pour laquelle les tensions sont en quadrature de phase :\(\omega =\frac{1}{RC}\)

-- Abdurrazzak Ajaja
Octobre 2025