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Circuits parallèles

Circuit composé d'une source de tension \(e(t)\) en série avec un condensateur \(C\) et une branche parallèle (résistance \(R\) et inductance \(L\))

Question 1.

Déterminer l'équation differentielle de iR(t)

Pour déterminer l'équation différentielle de \(i_{R}(t)\), on procède par étapes en appliquant les lois de Kirchhoff.

1. Lois de Kirchhoff

a) Loi des mailles :

\(e(t)=u_{C}(t)+u_{RL}(t)\)

b) Loi des nœuds (au point de jonction des branches \(R\) et \(L\)):

\(i(t)=i_{R}(t)+i_{L}(t)\) où \(i(t)\) est le courant total du circuit, qui est aussi le courant traversant le condensateur.

c) Relations tension-courant pour chaque composant :
• Résistance : \(u_{RL}(t)=Ri_{R}(t)\)
• Inductance : \(u_{RL}(t)=L\frac{di_{L}(t)}{dt}\)
• Condensateur : \(i(t)=C\frac{du_{C}(t)}{dt}\)

2. Élimination des variables intermédiaires

Notre objectif est d'obtenir une équation ne contenant que \(i_{R}(t)\) et ses dérivées.

a) Exprimer \(u_{C}(t)\) en fonction de \(i_{R}(t)\) :

• En dérivant l'équation de la loi des mailles, on obtient :

\(\frac{de(t)}{dt}=\frac{du_{C}(t)}{dt}+\frac{du_{RL}(t)}{dt}\)

• En substituant \(\frac{du_{C}(t)}{dt}\) par \(i(t)/C\), on a:

\(\frac{de(t)}{dt}=\frac{i(t)}{C}+\frac{du_{RL}(t)}{dt}\)

• En substituant \(i(t)\) par \(i_{R}(t)+i_{L}(t)\), on obtient :

\(\frac{de(t)}{dt}=\frac{i_{R}(t)+i_{L}(t)}{C}+\frac{du_{RL}(t)}{dt}\)

b) Exprimer \(i_{L}(t)\) et ses dérivées en fonction de \(i_{R}(t)\) :

• À partir de la relation aux bornes de l'inductance, on a:

\(u_{RL}(t)=L\frac{di_{L}(t)}{dt}\)

• Puisque \(u_{RL}(t)=Ri_{R}(t)\) (les branches sont en parallèle), on a :

\(Ri_{R}(t)=L\frac{di_{L}(t)}{dt}\)

• En intégrant cette expression, on obtient :

\(i_{L}(t)=\frac{R}{L}\int i_{R}(t)dt\)

• En dérivant \(u_{RL}(t)\), on obtient :

\(\frac{du_{RL}(t)}{dt}=R\frac{di_{R}(t)}{dt}\)

3. Substitution finale

Maintenant, nous pouvons substituer ces expressions dans l'équation de la loi des mailles dérivée :

\(\frac{de(t)}{dt}=\frac{i_{R}(t)+i_{L}(t)}{C}+\frac{du_{RL}(t)}{dt}\)\(\frac{de(t)}{dt}=\frac{1}{C}(i_{R}(t)+\frac{R}{L}\int i_{R}(t)dt)+R\frac{di_{R}(t)}{dt}\)

Pour éliminer l'intégrale, on dérive l'ensemble de l'équation une dernière fois par rapport au temps :

\(\frac{d^{2}e(t)}{dt^{2}}=\frac{1}{C}\left(\frac{di_{R}(t)}{dt}+\frac{R}{L}i_{R}(t)\right)+R\frac{d^{2}i_{R}(t)}{dt^{2}}\)

4. Réarrangement

En réarrangeant les termes pour isoler \(i_{R}(t)\) et ses dérivées, on obtient l'équation différentielle finale:

\(R\frac{d^{2}i_{R}(t)}{dt^{2}}+\frac{1}{C}\frac{di_{R}(t)}{dt}+\frac{R}{LC}i_{R}(t)=\frac{d^{2}e(t)}{dt^{2}}\)

Divisons par \(R\) pour avoir une forme canonique:

\(\frac{d^{2}i_{R}(t)}{dt^{2}}+\frac{1}{RC}\frac{di_{R}(t)}{dt}+\frac{1}{LC}i_{R}(t)=\frac{1}{R}\frac{d^{2}e(t)}{dt^{2}}\)

Cette équation différentielle du second ordre décrit l'évolution du courant \(i_{R}(t)\) dans la résistance du circuit. Elle est de la même forme que l'équation d'un circuit RLC série standard, mais avec un terme forçant différent sur le côté droit, qui dépend de la dérivée seconde de la tension d'entrée.


Question 2

En utilisant le formalisme complexe, determiner le solution particuliere de cette equation

Pour déterminer la solution particulière en régime sinusoïdal forcé, on utilise le formalisme complexe. Cela revient à analyser le circuit directement sans passer par la résolution de l'équation différentielle.

Le principe est de remplacer chaque grandeur sinusoïdale par un nombre complexe (phasor) et de résoudre le circuit dans le plan complexe.

1. Représentation complexe des grandeurs

a) Tension d'entrée :

\(e(t)=E_{m}\cos (\omega t)\) est remplacée par son phasor \(\mathbf{E}=E_{m}\). (On prend la phase à l'origine égale à 0).

b) Courants : \(i(t)\), \(i_{R}(t)\) et \(i_{L}(t)\) sont remplacés par leurs phasors respectifs \(\mathbf{I}\), \(\mathbf{I}_{R}\) et \(\mathbf{I}_{L}\).

c) Impédances :

• Résistance \(R\implies \mathbf{Z}_{R}=R\).
• Inductance \(L\implies \mathbf{Z}_{L}=jL\omega \).
• Condensateur \(C\implies \mathbf{Z}_{C}=\frac{1}{jC\omega }\).

2. Calcul des impédances équivalentes

a) Impédance de la branche parallèle (R et L) :Les composants R et L sont en parallèle.

\(\frac{1}{\mathbf{Z}_{RL}}=\frac{1}{\mathbf{Z}_{R}}+\frac{1}{\mathbf{Z}_{L}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{jL\omega }\)\(\mathbf{Z}_{RL}=\frac{R\cdot (jL\omega )}{R+jL\omega }\)

b) Impédance totale du circuit :

Le condensateur C est en série avec la branche parallèle (R // L).\(\mathbf{Z}_{total}=\mathbf{Z}_{C}+\mathbf{Z}_{RL}=\frac{1}{jC\omega }+\frac{jRL\omega }{R+jL\omega }\)

3. Détermination des courants

a) Courant total (phasor) :La loi d'Ohm complexe donne le courant total du circuit \(\mathbf{I}\):

\(\mathbf{I}=\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{Z}_{total}}=\frac{E_{m}}{\frac{1}{jC\omega }+\frac{jRL\omega }{R+jL\omega }}\)

b) Courant dans la résistance \(i_{R}(t)\) (phasor) :

On utilise la loi du diviseur de courant pour trouver \(\mathbf{I}_{R}\) à partir de \(\mathbf{I}\):

\(\mathbf{I}_{R}=\mathbf{I}\frac{\mathbf{Z}_{L}}{\mathbf{Z}_{R}+\mathbf{Z}_{L}}=\mathbf{I}\frac{jL\omega }{R+jL\omega }\)

En remplaçant \(\mathbf{I}\) par son expression:

\(\mathbf{I}_{R}=\frac{E_{m}}{\mathbf{Z}_{total}}\frac{jL\omega }{R+jL\omega }=\frac{E_{m}}{\left(\frac{1}{jC\omega }+\frac{jRL\omega }{R+jL\omega }\right)}\frac{jL\omega }{R+jL\omega }\)

4. Expression finale et passage au domaine temporel

En simplifiant l'expression de \(\mathbf{I}_{R}\), on obtient:

\(\mathbf{I}_{R}=\frac{E_{m}\cdot jL\omega }{\frac{R+jL\omega }{jC\omega }+jRL\omega }=\frac{E_{m}\cdot jL\omega }{\frac{R+jL\omega -RLC\omega ^{2}}{jC\omega }}=\frac{E_{m}\cdot (jL\omega )(jC\omega )}{R+jL\omega -RLC\omega ^{2}}\)\(\mathbf{I}_{R}=\frac{-E_{m}LC\omega ^{2}}{R-RLC\omega ^{2}+jL\omega }\)

On peut mettre cette expression sous la forme :

\(\mathbf{I}_{R}=I_{R,m}e^{j\phi _{R}}\).

a) Amplitude :

\(I_{R,m}=\frac{E_{m}LC\omega ^{2}}{\sqrt{(R-RLC\omega ^{2})^{2}+(L\omega )^{2}}}\)

b) Déphasage :

\(\phi _{R}=\arg (\mathbf{I}_{R})=\arg \left(\frac{-E_{m}LC\omega ^{2}}{R-RLC\omega ^{2}+jL\omega }\right)=\arg (-E_{m}LC\omega ^{2})-\arg (R-RLC\omega ^{2}+jL\omega )=\pi -\arctan \left(\frac{L\omega }{R-RLC\omega ^{2}}\right)\)

La solution particulière, qui représente le régime permanent, est donc:

\(i_{R}(t)=I_{R,m}\cos (\omega t+\phi _{R})\)


Question 3

Retrouver le même résultat en utilisant les lois d'asociation des dipoles linéaires et l'équivalence entre les représentations de Thévenin et de Norton d'une source réelle.

Pour retrouver le résultat en utilisant les théorèmes de Thévenin et de Norton, l'approche consiste à simplifier le circuit pour n'avoir plus qu'une source de courant ou de tension équivalente en face de la résistance \(R\).

La méthode de Thévenin est particulièrement adaptée pour trouver le courant dans une branche spécifique.

La stratégie est de déterminer le générateur de Thévenin équivalent vu par la résistance \(R\). Ce générateur de Thévenin se compose d'une source de tension équivalente \(U_{Th}\) en série avec une impédance équivalente \(Z_{Th}\).

Étape 1 :

Déterminer la tension de Thévenin \(U_{Th}\) (tension à vide)

1. On retire la résistance \(R\) du circuit. Le circuit restant est une boucle fermée constituée de la source de tension \(e(t)\), du condensateur \(C\) et de l'inductance \(L\).

2. La tension de Thévenin \(U_{Th}\) est la tension aux bornes où la résistance \(R\) était connectée (soit aux bornes de l'inductance \(L\)).

3. On utilise le formalisme complexe. La tension d'entrée est \(\mathbf{E}=E_{m}\). L'impédance de la boucle restante est

\(\mathbf{Z}_{série}=\mathbf{Z}_{C}+\mathbf{Z}_{L}=\frac{1}{jC\omega }+jL\omega \).

4. Le courant circulant dans cette boucle est \(\mathbf{I}_{série}=\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{Z}_{série}}\).

5. La tension aux bornes de l'inductance (qui est \(U_{Th}\)) est donnée par la loi d'Ohm complexe :

\(\mathbf{U}_{Th}=\mathbf{I}_{série}\cdot \mathbf{Z}_{L}=\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{Z}_{série}}\mathbf{Z}_{L}= \frac{E_{m}}{\frac{1}{jC\omega }+jL\omega }\cdot jL\omega \)
\(\mathbf{U}_{Th}=\frac{E_{m}jL\omega }{\frac{1-LC\omega ^{2}}{jC\omega }}=\frac{E_{m}(jL\omega )(jC\omega )}{1-LC\omega ^{2}}=\frac{-E_{m}LC\omega ^{2}}{1-LC\omega ^{2}}\)

Étape 2 :

Déterminer l'impédance de Thévenin \(Z_{Th}\) (impédance équivalente)

1. On remplace la source de tension \(e(t)\) par un court-circuit (on la remet à zéro).

2. On se place aux bornes où la résistance \(R\) était connectée et on calcule l'impédance équivalente vue depuis ces bornes.

3. Avec la source court-circuitée, le condensateur \(C\) et l'inductance \(L\) se retrouvent en parallèle.

4. L'impédance de Thévenin \(\mathbf{Z}_{Th}\) est donc l'impédance équivalente de cette association parallèle:

\(\frac{1}{\mathbf{Z}_{Th}}=\frac{1}{\mathbf{Z}_{C}}+\frac{1}{\mathbf{Z}_{L}}=jC\omega +\frac{1}{jL\omega }=\frac{-C\omega ^{2}L+1}{jL\omega}\)

\(\mathbf{Z}_{Th}=\frac{jL\omega }{1-LC\omega ^{2}}\)

Étape 3 :

Calculer le courant \(i_{R}(t)\)

1. Le circuit de Thévenin équivalent est une source de tension \(\mathbf{U}_{Th}\) en série avec l'impédance \(\mathbf{Z}_{Th}\), aux bornes de laquelle on rebranche la résistance \(R\).

2. Le courant complexe \(\mathbf{I}_{R}\) est alors donné par la loi d'Ohm:

\(\mathbf{I}_{R}=\frac{\mathbf{U}_{Th}}{\mathbf{Z}_{Th}+\mathbf{Z}_{R}}=\frac{\mathbf{U}_{Th}}{\mathbf{Z}_{Th}+R}\)

\(\mathbf{I}_{R}=\frac{\frac{-E_{m}LC\omega ^{2}}{1-LC\omega ^{2}}}{\frac{jL\omega }{1-LC\omega ^{2}}+R}\)

3. On met les termes au dénominateur sur le même dénominateur commun :

\(\mathbf{I}_{R}=\frac{\frac{-E_{m}LC\omega ^{2}}{1-LC\omega ^{2}}}{\frac{jL\omega +R(1-LC\omega ^{2})}{1-LC\omega ^{2}}}\)

4. En simplifiant, on obtient:

\(\mathbf{I}_{R}=\frac{-E_{m}LC\omega ^{2}}{jL\omega +R(1-LC\omega ^{2})}=\frac{-E_{m}LC\omega ^{2}}{R(1-LC\omega ^{2})+jL\omega }\)

Ce résultat est identique à celui obtenu avec la méthode des impédances. Le courant \(i_{R}(t)\) en régime sinusoïdal forcé est la partie réelle de ce phasor complexe après multiplication par \(e^{j\omega t}\).

-- Abdurrazzak Ajaja
Octobre 2025