Articles
Sciences and sociétés
Circuits parallèles

Un "générateur de tension" idéal de f.é.m. sinusoïdale $$e(t)=Em\cos (\omega t+\pi /4)$$ alimente un dipôle RL et un dipôle RLC en parallèle.

On utilisera la représentation en nombres complexes et celles des phasors.


1. L'expression de i₁(t) : $$i_{1}(t)$$ $$Z_{1} = R + jL\omega$$ $$I_{1m} = \frac{E_{m}}{|Z_{1}|} = \frac{E_{m}}{\sqrt{R^{2} + (L\omega)^{2}}}$$ $$\phi_{1} = \arctan(\frac{L\omega}{R})$$ $$i_{1}(t) = I_{1m}\cos(\omega t + \pi/4 - \phi_{1}) = \frac{E_{m}}{\sqrt{R^{2} + (L\omega)^{2}}}\cos(\omega t + \pi/4 - \arctan(\frac{L\omega}{R}))$$

2. L'expression de i₂(t): $$i_{2}(t)$$ $$Z_{2} = R + j(L\omega - \frac{1}{C\omega})$$ $$I_{2m} = \frac{E_{m}}{|Z_{2}|} = \frac{E_{m}}{\sqrt{R^{2} + (L\omega - \frac{1}{C\omega})^{2}}}$$ $$\phi_{2} = \arctan(\frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R})$$ $$i_{2}(t) = I_{2m}\cos(\omega t + \pi/4 - \phi_{2}) = $$ $$ \frac{E_{m}}{\sqrt{R^{2} + (L\omega - \frac{1}{C\omega})^{2}}}\cos(\omega t + \pi/4 - \arctan(\frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R}))$$

3. Condition pour que les déphasages des courants i₁(t) et i₂(t) soient opposés.

$$\psi_{1} = -\psi_{2}$$ $$\pi/4 - \phi_{1} = -(\pi/4 - \phi_{2})$$ $$\pi/2 = \phi_{1} + \phi_{2}$$ $$\pi/2 = \arctan(\frac{L\omega}{R}) + \arctan(\frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R})$$ $$\tan(\pi/2) = \tan(\arctan(\frac{L\omega}{R}) + \arctan(\frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R}))$$ $$\tan(\pi/2) = \frac{\frac{L\omega}{R} + \frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R}}{1 - \frac{L\omega}{R} \cdot \frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R}}$$ Pour que cette équation soit satisfaite, le dénominateur doit être égal à zéro. $$1 - \frac{L\omega}{R} \cdot \frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R} = 0$$ $$R^{2} = L\omega(L\omega - \frac{1}{C\omega})$$ $$\omega^{2} = \frac{R^{2}}{L^{2}} + \frac{1}{LC}$$ $$\omega = \sqrt{\frac{R^{2}}{L^{2}} + \frac{1}{LC}}$$

4.Expressions simplifiées de i₁(t) et i₂(t) :

Lorsque $$\psi_{1} = -\psi_{2}$$ Si $$\omega = \sqrt{\frac{R^{2}}{L^{2}} + \frac{1}{LC}}$$ Alors $$\arctan(\frac{L\omega}{R}) + \arctan(\frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R}) = \pi/2$$ $$\psi_{1} = \pi/4 - \arctan(\frac{L\omega}{R})$$ $$\psi_{2} = \pi/4 - \arctan(\frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R})$$

$$i_{1}(t) = \frac{E_{m}}{\sqrt{R^{2} + (L\omega)^{2}}}\cos(\omega t + \pi/4 - \arctan(\frac{L\omega}{R}))$$ $$i_{2}(t) = \frac{E_{m}}{\sqrt{R^{2} + (L\omega - \frac{1}{C\omega})^{2}}}\cos(\omega t + \pi/4 - \arctan(\frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R}))$$

-- Abdurrazzak Ajaja
Octobre 2025