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Optimisation du fonctionnement d'un moteur
Électricité
Optimisation du fonctionnement d'un moteur
Exemples
Enoncé
Un moteur éléctrique est modélisé par l'association en série d'un résistor de résistance R et d'une bobine d'inductance L.
Il est alimenté en courant sinusoïdal de fréquence 50Hz par un fil de résistance négligeable.
Le moteur consomme un puissance moyenne Pm= 4.4kW et son facteur de puissance vaut 0.6.
On mesure entre les bornes A et B une tension de valeur efficace 220V.
1. Calculer la valeur du courant efficace Ieff circulant dans la ligne.
2. Calculer R et L.
3. Pour relever le facteur de puissance de l'installation, on connete entre les bornes A et B un condensateur de capacité C.
3.1. Calculer la plus petite valeur de C pour que le nouveau facteur de puissance soit égal à 0.9.
3.2. Quelle est la puissance moyenne P'm alors consommée par l'installation ?
3.3. Calculer la valeur efficace du courant I'eff circulant dans la ligne.
Réponse
Question 1:
Calculer la valeur du courant efficace \(I_{\text{eff}}\) circulant dans la ligne.
•
Formule de la puissance moyenne
La puissance moyenne \(P_{m}\) consommée dans le circuit est donnée par la relation :
\(P_{m}=U_{\text{eff}}\times I_{\text{eff}}\times \cos (\phi )\)
où \(U_{\text{eff}}\) est la tension efficace, \(I_{\text{eff}}\) est le courant efficace, et \(\cos (\phi )\) est le facteur de puissance.
•
Réarrangement et substitution
On réarrange la formule pour isoler \(I_{\text{eff}}\) :
\(I_{\text{eff}}=\frac{P_{m}}{U_{\text{eff}}\times \cos (\phi )}\)
On substitue les valeurs données (\(P_{m}=4400\,\text{W}\), \(U_{\text{eff}}=220\,\text{V}\), \(\cos (\phi )=0,6\)) :
\(I_{\text{eff}}=\frac{4400}{220\times 0,6}\)
\(I_{\text{eff}}=\frac{4400}{132}\)
La valeur efficace du courant \(I_{\text{eff}}\) est d'environ 33,33 A.
Question 2:
Calculer \(R\) et \(L\).
•
Calcul de la résistance \(R\)
La puissance moyenne \(P_{m}\) est uniquement dissipée par la résistance \(R\) (une bobine idéale ne consomme pas de puissance moyenne). La formule est :
\(P_{m}=R\times I_{\text{eff}}^{2}\)
On réarrange pour \(R\) :\(R=\frac{P_{m}}{I_{\text{eff}}^{2}}\)
\(R=\frac{4400}{(33,33)^{2}}\)\(R\approx 3,96\,\Omega \)
•
Calcul de l'impédance totale \(Z\)
L'impédance totale \(Z\) du circuit \(RL\) série est donnée par la loi d'Ohm en valeurs efficaces :
\(Z=\frac{U_{\text{eff}}}{I_{\text{eff}}}\)\(Z=
\frac{220}{33,33}\)
\(Z\approx 6,60\,\Omega \)
•
Calcul de la réactance inductive \(X_{L}\)
L'impédance dans un circuit \(RL\) série est également \(Z^{2}=R^{2}+X_{L}^{2}\). On trouve \(X_{L}\) :
\(X_{L}=\sqrt{Z^{2}-R^{2}}\)\(X_{L}=
\sqrt{(6,60)^{2}-(3,96)^{2}}\)
\(X_{L}\approx 5,28\,\Omega \)
•
Calcul de l'inductance \(L\)
La réactance inductive est \(X_{L}=L\times \omega \), où \(\omega =2\times \pi \times f\) (\(f=50\,\text{Hz}\)). On trouve \(L\) :
\(L=\frac{X_{L}}{\omega }=
\frac{X_{L}}{2\times \pi \times f}\)
\(L=\frac{5,28}{2\times \pi \times 50}\)
\(L\approx 0,0168\,\text{H}\approx 16,8\,\text{mH}\)
La résistance \(R\) est d'environ 3,96 \(\Omega \) et l'inductance \(L\) est d'environ 16,8 mH.
Question3:
Optimisation avec un condensateur
3.1. Calculer la plus petite valeur de \(C\) pour que le nouveau facteur de puissance soit égal à 0,9.
•
Puissances réactives initiales
La puissance réactive initiale \(Q_{m}\) du moteur est \(Q_{m}=P_{m}\times \tan (\phi )\).
L'angle de phase initial est \(\phi =\arccos (0,6)\approx 53,13^{\circ }\).
\(\tan (\phi )\approx 1,333\)
\(Q_{m}=4400\times 1,333\approx 5866,1\,\text{VAR}\) (inductive, positive).
•
Puissances réactives finales
Le nouvel angle de phase est \(\phi ^{\prime }=\arccos (0,9)\approx 25,84^{\circ }\).
\(\tan (\phi ^{\prime })\approx 0,484\)
La nouvelle puissance réactive totale \(Q_{\text{tot}}^{\prime }\) doit être :
\(Q_{\text{tot}}^{\prime }=P_{m}\times \tan (\phi ^{\prime })\)
\(Q_{\text{tot}}^{\prime }=4400\times 0,484\approx 2130,4\,\text{VAR}\)
•
Calcul de la puissance réactive du condensateur
\(Q_{C}\)
Le condensateur apporte une puissance réactive capacitive \(Q_{C}\) (négative) :
\(Q_{C}=Q_{\text{tot}}^{\prime }-Q_{m}\)
\(Q_{C}=2130,4-5866,1\approx -3735,7\,\text{VAR}\)
•
Calcul de la capacité \(C\)
La puissance réactive du condensateur est \(Q_{C}=-U_{\text{eff}}^{2}\times C\times \omega \).
On trouve \(C\):
\(C=\frac{|Q_{C}|}{U_{\text{eff}}^{2}\times \omega }\)
\(C=\frac{3735,7}{220^{2}\times (2\times \pi \times 50)}\)
\(C\approx 0,0002458\,\text{F}\approx 245,8\,\mu \text{F}\)
La plus petite valeur de \(C\) est d'environ 245,8 \(\mu \text{F}\).
3.2. Quelle est la puissance moyenne \(P_{m}^{\prime }\) alors consommée par l'installation ?
•
Analyse de la puissance moyenne
Le condensateur idéal n'ajoute aucune consommation de puissance moyenne (active). Seul le moteur (via sa résistance \(R\)) consomme cette puissance.
La puissance moyenne \(P_{m}^{\prime }\) consommée par l'installation reste 4,4 kW.
3.3.
Calculer la valeur efficace du courant \(I_{\text{eff}}^{\prime }\) circulant dans la ligne.
• Formule de la puissance moyenne avec le nouveau facteur de puissance
On réutilise la formule de la puissance moyenne avec le nouveau facteur de puissance \(\cos (\phi ^{\prime })=0,9\).
\(P_{m}^{\prime }=U_{\text{eff}}\times I_{\text{eff}}^{\prime }\times \cos (\phi ^{\prime })\)
•
Réarrangement et substitution
On réarrange pour \(I_{\text{eff}}^{\prime }\) :
\(I_{\text{eff}}^{\prime }=\frac{P_{m}^{\prime }}{U_{\text{eff}}\times \cos (\phi ^{\prime })}\)
\(I_{\text{eff}}^{\prime }=\frac{4400}{220\times 0,9}\)
\(I_{\text{eff}}^{\prime }\approx 22,22\,\text{A}\)
La valeur efficace du nouveau courant \(I_{\text{eff}}^{\prime }\) est d'environ 22,22 A.
-- Abdurrazzak Ajaja
Octobre 2025
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