Mathématiques 2: Fonctions exponetielles

1. f(x) = - 3.(1/2)^{2x -6} + 3

Dom = ℝ
f(x) = 0 si (1/2)^{2x -6} = 1
c'est à dire
ln((1/2)^{2x -6}) = ln(1) = 0
(2 x - 6) ln(1/2) = 0 &rarr x = + 3

Asymptote y = 3

x→ 1000 y → 3
x→ - 1000 y → très grand négativement

Graphe

2. 4^{5x -2} = 16

4^{5x -2} = 16
(5x - 2) ln(4) = ln(16)
x = (ln(16)/ln(4) + 2)/5 = 4/5

3. 3^{- 2x + 3} - 2 = 4

3^{- 2x + 3} = 2

(- 2x + 3)ln(3) = ln(2)
- 2x + 3 = ln(2)/ln(3)
x = (3 - ln(2)/ln(3))/2

4. 3^{x2 + 4x + 4} = 2^{x + 1}

(x2 + 4x + 4) ln(3) = (x + 1)ln(2)
x2 + 4x + 4 = (x + 1)ln(2)/ln(3)
x2 + (4 - ln(2)/ln(3))x + 4 - ln(2)/ln(3) = 0

Δ = (4 - ln(2)/ln(3))² - 4 (1)(4 - ln(2)/ln(3)) =
(4 - ln(2)/ln(3))[(4 - ln(2)/ln(3)) - 4] =
- (4 - ln(2)/ln(3))(ln(2)/ln(3)

ln(2)/ln(3) = 0.69/1.1 = 0.63

Δ < 0 , donc pas de racines réelles.

S = Φ = {}

5. 7^{2x - 3} - 3^{3x + 2} = 27^{x - 1} + 49^x

7^{2x - 3} - 3^{3x + 2} = 3^{3(x - 1)} + 7^2x
7^{2x - 3} - 7^2x = 3^{3x + 2} + 3^{3(x - 1)}
7^2x (7^-3 - 1) = 3^3x(3^{+ 2} + 3^{- 3}
7^2x /3^3x = (3^{+ 2} + 3^{- 3})/ (7^-3 - 1)
(7²/3³)^x = (3^{+ 2} + 3^{- 3})/ (7^-3 - 1)

x = ln[(3² + 3^-3)/(7^-3 - 1)]/ln[(7²/3³)]

6. 3^5x = 4

3^5x = 4
5^x ln(3) = ln(4)
5^x = ln(4)/ln(3)

x = ln[ln(4)/ln(3)]/ln(5)

7. 2 + 5^{3 x + 2} ≥ 7

2 + 5^{3 x + 2} ≥ 7

5^{3 x + 2} ≥ 5
5^{3 x + 1} ≥ 1
(3 x + 1) ln(5)≥ ln(1) = 0
3 x + 1 ≥ 0

x ≥ - 1/3

8. (2/3)^{3 x - 4} ≤ - 3

Impossible puisqu'une exponetielle est toujours positive.

S = Φ = {}

9. f(x) = - 2.3^2x + 2

f(x) = - 2.3^2x + 2

y = - 2.3^2x + 2
(y - 2)/(-2) = 3^2x
2x ln(3) = ln[(2 - y)/2]
x = ln[(2 - y)/2]/2ln(3)

Réciproque de f(x) est g(x) telle que:
g(x) = ln[(2 - x)/2]/2ln(3)

Graphe:

10. Interêts composés

a)Interêts composés de Sylvain à 3.5% l'an composé bi-annuellement = 2 fois l'an:

0 année: dépôt: Do = 4500$

1ers 6mois : dépôt devient: D1 =
4500$ + 4500$ x (3.5/2)% = 4500$ (1 + (3.5/2)%) = Do(1 + (3.5/2)%)

1ère année = 2 x 6 mois : dépôt devient: D2 = D1 + D1 x (3.5/2)% = D1(1 + (3.5/2)%) = Do(1 + (3.5/2)%)²

5ère année : dépôt devient: D5 = Do(1 + (3.5/2)%)¹⁰

5 ans Sylvain possède D10 = Do (1 + (3.5/2))¹⁰ = 4500 (1 + (3.5/2)%)¹⁰ $ = 4500 x 1.19 = 5352.50 $

b) Interêts composés de Peter à 3.3% l'an:

0 jour: dépôt: Do = 4500$

1er jour: dépôt devient: D1 = 4500$ + 4500$ x (3.3/365)% = = Do(1 + (3.3/365)%)

2eme jour: dépôt devient: D2 = D1 + D1x(3.3/365)% = D1(1 + (3.3/365)%) = Do (1 + (3.3/365)%)²

3eme jour: dépôt devient: D3 = Do (1 + (3.3/365)%)³

5 ans = 5 x 365 jours = 1825 jours.

1825eme jour: dépôt devient: D1825 = Do (1 + (3.3/365)%)¹⁸²⁵

5 ans Peter possède D1825 = Do (1 + (3.3/365)%)¹⁸²⁵ =
D1825 = 4500 (1 + (3.3/365)%)¹⁸²⁵ $ = 4500 x 1.179 = 5307.23 $

Il suffit de comparer les deux soldes:

Sylvain: DS = 5352.50 $ , et
Peter: DP = 5307.23 $

Une différence de 45.27 $ pour l'avantage de Sylvain.