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Mathématiques:
Algèbre
La fonction logarithmique
Équation de définition d'une fonction logarithmique
1. Équation de définition d'une fonction logarithmique
L'équation de définition d'une fonction logarithmique, sous la forme canonique
s'ecrit:
f(x) = a logc(b(x - h)) + k
Ou sous la forme réduite:
f(x) = logc1±(x - h) + k
Selon les informations dont on dispose, on cherche les paramètres
c1, h et k.
2. Formule des variations unitaires
d'une fonction logarithmique
Soit la fonction logarithmique:
f(x) = logc1(x - h) + k
Pour deux variables indépendentes succéssives x1 et x2, on aura:
y1 = logc1(x1 - h) + k (1)
y2 = logc1(x2 - h) + k (2)
On fait la différence (2) - (1):
logc1(x2 - h) - logc1(x1 - h) = y2 - y1
Pour des variations régulières de une unité, c'est à
dire y2 - y1 = 1, on aura:
logc1(x2 - h) - logc1(x1 - h). D'où:
(x2 - h)/(x1 - h) = c
x2 - h = c(x1 - h) = cx1 - ch
x2 = = cx1 - ch + h = cx1 + h(1 - c)
x3 = = cx2 + h(1 - c)
xn = cxn-1 + h(1 - c)
3. Calcul de la base: exemple
On donne le tableau suivant:
| x | f(x) |
| - 7/4 | - 4 |
| - 3/2 | 3 |
| - 1 | - 2 |
| 0 | -1 |
On a:
x1 - 7/4 (3)
x2 = - 3/2 = c(- 7/4) + h(1 - c) (4)
x3 = - 1 = c (- 3/2) + h(1 - c) (5)
... = ...
La différence (5) - (4) donne:
c (- 3/2) + h(1 - c) - c(- 7/4) - h(1 - c) = - 1 + 3/2
c (- 3/2) - c(- 7/4) = 1/2
c (7/4 - 3/2) = 1/2
c (1/4) = 1/2
c = 2
La base c de cette fonction logarithmique est égale à 2
.
4. Calcul des deux autres paramètres h et k
Une fois la base est détérminée, on ecrit la définition
de la fonction sous forme réduite:
f(x) = log2(x - h) + k
Il suffit de prendre deux points du tableau et substituer leurs
valeurs dans la définition de la fonction pour avoir deux
équations permettant de calculer h et k
Le point (0, -1 ) donne: log2(- h) = - 1 - k (6)
Le point (2, -0 ) donne: log2(2 - h) = - k (7)
La différence (7) - (6) donne:
1 = log2[(2 - h)/(- h)].
D'où h = - 2 et donc k = - 2
L'équation de définition de la fonction s'ecrit donc:
f(x) = log2(x + 2) - 2
.
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