Mathématiques 2:

Fonction rationnelle
Forme fonctionnelle et forme canonique
Les asymptotes

1. Les formes de la fonction rationnelle

1.1. Forme fonctionnelle

$\bf\large\color{brown}{f(x) = \frac {a x + b}{c x + d} }$

Les asymptotes

• verticale: $x = - \frac{d}{c}$
• horizontale : $x = \frac{a}{c}$

La fonction rationnelle est disontinue au point x = - d/c.

1.2. Formes canomiques

• À quatre parametres :

$\bf\large\color{brown}{f(x) = \frac {a}{b(x - h)} + k }$

• À trois parametres :

$\bf\large\color{brown}{f(x) = \frac {a1}{x - h} + k }$

Avec $\bf\large\color{blue}{ \; a1 = \frac {a}{b} }$

Les asymptotes

• verticale: $x = h$
• horizontale : $x = k$

La fonction rationnelle est disontinue au point x = h.

2. Passage d'une forme a une autre

2.1. Forme canomique → forme fonctionnelle

Il suffit de reduire au meme dénominateur :

$\frac {a}{b(x - h)} + k = \frac {bk x + a - bhk}{b(x - h)} \\ = \frac {m x + n}{b(x - h)}$
avec

m = bk et
n = a - bhk

2.2. Forme fonctionnelle →forme canomiques

Il suffit de faire une division euclidienne

$\Large\bf\color{green}{ \frac {a x + b}{c x + d} = \frac{a}{c} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{c x + d} \\ = \frac{a}{c} + \frac{b - \frac{ad}{c} }{c(x +\frac{d}{c})} = \frac{m}{n (x - h)} + k }$

avec

m = (b - ad/c) n = c ,
h = - d/c et k = a/c