Mathématiques:

INÉQUATIONS AVEC DES VALEURS ABSOLUES

On détermine les valeurs frontières de chaque valeur absolue :

• 3x + 4 = 0 soit x = 4/3
• 5 + x = 0 soit x = 5


On remplit un tableau de forme :

x	- ∞		4/3		5		+∞
|-3x + 4|		- 3x + 4	0	3x - 4	11	3x - 4
|-5 + x|		5 - x	11/3	5 - x	0	- 5 + x
(E)		-4x+9 = 10	|	2x + 1 = 10	|	4x - 9 = 10
		x = -1/4 possible	|	x = 9/2 possible	|	x = 19/4 impossible

On obtient alors deux solutions S = (- 9/4; 9/2)

Résolution graphique:

On détermine les valeurs frontières de chaque valeur absolue :

• 2x - 1 = 0 soit x = 1/2
• x + 2 = 0 soit x = -2


On remplit un tableau de forme :

x		-2		1/2
|x + 2|	- x - 2	0	x + 2		x + 2
|2x - 1|	-2 x + 1		- 2x + 1	0	2x - 1
|2x - 1| ≤ |x + 2|	- x + 3 ≤ 0	|	-3 x - 1 ≤ 0	|	x - 3 ≤ 0
	x ≥ 3: impossible	|	x ≥ -1/3: possible dans: [-1/3, 1/2]	|	x ≤ 3 : possible dans: [1/2, 3]

On obtient alors l'intervalle de solutions S = [-1/3, 3].

Résolution graphique:

3x - 1 = 0, soit x = 1/3

|3x - 1| s'écrit:

- 3 x + 1 avec x ≤ 1/3
3 x - 1 avec x ≥ 1/3

L'inéquation s'écrit donc:

- 3 x + 1 = x - 2 avec x ≤ 1/3
x = 3/4 avec x ≤ 1/3 : impossible

3 x - 1 = x - 2 avec x ≥ 1/3
x = - 1/2 avec x ≥ 1/3 : impossible

Il n'y a pas de solution. L'équation n'admet aucune solution dans R.

a)

x		-1/2		1
|2x + 1|	- 2x - 1	0	2x + 1		2x + 1
|x - 1|	- x + 1		- x + 1	0	x - 1
(INEQ)	- x - 2 ≤ 0	|	3 x ≤ 0	|	x + 2 ≤ 0
	x ≥ - 2: possible	|	x ≤ 0 possible	|	x ≤ - 2 impossible

L'ensemble des solutions est S = [- 2, 0].

b) selon la propriété:

si a et b sont des réels positifs et a ≤ b , alors a² ≤ b²

Ainsi: |2x + 1| ≤ |x - 1| peut bien s'ecrire :

(2x + 1)² ≤ (x - 1)²

Les expressions: |2x + 1| ≤ |x - 1| et (2x + 1)² - (x - 1)² ≤ 0 sont équivalentes:

Noua avons:

(2x + 1)² - (x - 1)² = (3x)(x + 2)

L'inéquation devient:

3 x ( x + 2) ≤ 0 (INEQ)

On fait un tableau de signe: :

x	- ∞		- 2		0		+∞
x + 2	-	-	0	+	|	+	+
3x	-	-	-	-	0	+	+
(INEQ)	+	+	|	-	|	+	+
			|	ici	|

L'ensemble des solutions est S = [- 2, 0].